Плоский тор

[Munin]

В топологии, например, понятие тора есть, а понятием кривизны не пользуются (по крайней мере, оно есть не всегда).

[g______d]

Утундрий в сообщении #831518 писал(а):

...кривизна нулевая.

Это следствие. Я бы сразу сказал "кривизна нулевая", но кривизны бывают разные, и все равны нулю, как у куска плоскости.

-- 28.02.2014, 22:21 --

Другими словами, "плоский" означает "в окрестности любой точки неотличим от куска плоскости" (как риманово многообразие). Кажется, я Кэп.

[Утундрий]

Задачки:

1. Диффеоморфны ли поверхности "бублика" в $\mathbb{R}^3 $ и построенная выше 2-поверхность в $\mathbb{R}^4$?

2. Как "выглядит" проекция построенной выше поверхности в $\mathbb{R}^4$ на произвольную 3-плоскость? Т.е. нужно нарисовать проекции тех точек поверхности, касательная плоскость к которым содержит направление проецирования.

[g______d]

Утундрий в сообщении #831537 писал(а):

1. Диффеоморфны ли поверхности "бублика" в $\mathbb{R}^3 $ и построенная выше 2-поверхность в $\mathbb{R}^4$?

Ну да, можно же параметризовать поверхность бублика двумя углами, вот и диффеоморфизм.

[Утундрий]

Да, слишком просто... Тогда - нарисовать весь процесс. Используя решение задачки 2.

[Munin]

g______d в сообщении #831521 писал(а):

Я бы сразу сказал "кривизна нулевая", но кривизны бывают разные, и все равны нулю, как у куска плоскости.

Строго говоря, не все, потому что бывает кривизна ещё внешняя (аналог кривизны линии).

[Утундрий]

Munin
Нет, есть такая кривизна в слоях. Здесь явно об этом. Но, как и в случае кривых, нуль первой кривизны влечёт нули всех последующих.

[g______d]

Munin в сообщении #831565 писал(а):

Строго говоря, не все, потому что бывает кривизна ещё внешняя (аналог кривизны линии).

Это если он куда-то вложен.

[Утундрий]

g______d в сообщении #831574 писал(а):

он куда-то вложен.

Так мы токмо энто и рассматриваем. Вроде.

[g______d]

Утундрий в сообщении #831575 писал(а):

Так мы токмо энто и рассматриваем. Вроде.

Обычно плоские торы встречаются сами по себе.

Да и вообще, мне не приходит на ум даже где в теоретической физике может встретиться тор, куда-то изначально вложенный. Не вложенный — сколько угодно.

[JMH]

gris ответил на вопрос (правда для двумерного случая, но это не принципиально): $n$-мерный плоский тор - это $n$-мерный куб у которого отождествлены противоположные грани. Мне непонятно, почему этого недостаточно?

[alcoholist]

Утундрий в сообщении #831509 писал(а):

Простите, а где в этой ссылке говорится о проективной плоскости? Или "вкладываются все" нужно понимать как "вообще все, безразлично к ориентируемости"?

там же ясно написано:

Цитата:

state that every Riemannian manifold can be isometrically embedded into some Euclidean space.

-- Сб мар 01, 2014 08:21:50 --

g______d в сообщении #831521 писал(а):

Это следствие. Я бы сразу сказал "кривизна нулевая", но кривизны бывают разные

когда специалисты говорят о пространстве кривизны такой-то (не оговаривая дополнительно внешняя она, или Риччи, или еще какая-то) то обычно имеют ввиду либо секционные кривизны (для риманова случая), либо кривизну в смысле Александрова (для александровских пространств)

[Munin]

g______d в сообщении #831578 писал(а):

Да и вообще, мне не приходит на ум даже где в теоретической физике может встретиться тор, куда-то изначально вложенный. Не вложенный — сколько угодно.

Почему? Как раз вложенный - сколько угодно. Вихри в жидкости, в твёрдом теле... Двойной маятник.

[alcoholist]

Munin в сообщении #831605 писал(а):

Двойной маятник

это поверхность уровня энергии в фазовом пространстве?

[g______d]

Да, я погорячился, ещё бывают инвариантные торы.