колебательная система из двух грузиков на пружине

[abdary]

Товарищи, не встречал ли кто-нибудь из Вас в сети примеров, как составляют и считают уравнение движения двух грузиков на одной пружине, скользящих на плоскости без трения. Я составил уравнение на основе второго закона Ньютона для случая, когда грузики раздвинули (или сжали) и одновременно отпустили. В этом случае начальные условия очень облегчают решение. При $t_0 =0$ следует $x_0= x$ и $v_0 = 0$. Движение определяется только силой упругости пружины. А меня ещё интересует случай, когда первоначально грузики находились в состоянии покоя, а по одному из грузиков резко ударили, и в начальный момент времени мы имеем $x_0 = 0$, а $v_0 = v$. Не представляю, как составить уравнение движения на основе второго закона Ньютона. Говорят, нужно использовать уравнения Лагранжа. Было бы большой удачей, найти близкий пример. Хотя бы для одного грузика на пружине, но именно для того случая, когда по грузику ударяют.

[Munin]

abdary в сообщении #828035 писал(а):

Говорят, нужно использовать уравнения Лагранжа.

Можно и без них обойтись. Перейдите в систему отсчёта центра масс, и ваша задача разделится на две независимые.

[DimaM]

abdary в сообщении #828035 писал(а):

Хотя бы для одного грузика на пружине, но именно для того случая, когда по грузику ударяют.

Ну и в чем проблема? Уравнение ровно то же, что и для начального отклонения с нулевой скоростью, только начальные условия другие.

[abdary]

Обращаюсь к Диме. Я теперь понимаю, что система будет записана также. Просто начальные условия изменятся. Я составляю систему из двух диф.уравнений. Но решить её пока не могу.
m1ẍ1 $=$ – k(x1 – x2)
m2ẍ2 $=$ k(x1 – x2)
Что делать с (x1 - x2)? В случае равных масс решение упрощается. Меня и это пока устроит. Мне нужно понять, как поступать с такими уравнениями. Дальше я ещё что-нибудь придумаю.

[DimaM]

abdary в сообщении #828736 писал(а):

Мне нужно понять, как поступать с такими уравнениями.

Домножьте первое на $m_2$, второе на $m_1$ и вычтите из одного другое. Далее надо вспомнить, что производная суммы (разности) равна сумме (разности производных), и получится одно уравнение с одной неизвестной.
Обратите, кстати, внимание на правила оформления формул.

[abdary]

ДимаМ, Во-первых спасибо. Во-вторых посмотрите, пожалуйста, что у меня получается
y $=$ y0•cos$ω$t $+$ (ẏ0/$ω$)•sin$ω$t,
Вернёмся к прежним переменным
(x1 – x2) $=$ (X – (–X))•cos$ω$t $+$ (ẋ1.0 – ẋ2.0)/$ω$•sin$ω$t
Или
(x1 – x2) $=$ 2Xcos$ω$t $+$ (ʋ1 – ʋ2)/$ω$•sin$ω$t
Как следует интерпретировать последнее выражение в физическом смысле? Это самое главное. Просто нагромождение цифр бессмысленно. Очень Вам благодарен. Алексей.

[DimaM]

abdary в сообщении #828848 писал(а):

Во-вторых посмотрите, пожалуйста, что у меня получается

Исправьте формулы, у вас сплошной Syntax error.

[abdary]

ДимаМ. Во-первых спасибо. Во-вторых посмотрите, пожалуйста, что у меня получается
$y=y_0\cos{\omega t}+\frac {\dot{y_0}}{\omega} \sin\omega t$,
Вернёмся к прежним переменным
${x_1-x_2}=2X\cos\omega t+\frac {{\dot{x}_{1.0}}-{\dot{x}_{2.0}}}{\omega} \sin\omega t$
Или
${x_1-x_2}=2X\cos\omega t+\frac {\upsilon_1-\upsilon_2}{\omega} \sin\omega t$
Или
${x_1-x_2}=2X\cos\omega t+\frac 0{\omega} \sin\omega t$
Или
$x_1-x_2=2X\cos\omega t$
Может быть мне следует кроме вычитания диф.уравнений выполнить так же и их сложение. Похоже на то, что я из-за этого одну собственную частоту теряю. Я так понимаю, что собственные частоты должно быть две, это два корня решения диф.уравнения.
Я осмысленно не стал писать для Вас начальные условия - не хочу быть слишком уж навязчивым и просить Вас влезать в детали.
Как следует интерпретировать последнее выражение в физическом смысле? Это самое главное. Просто нагромождение цифр бессмысленно. Очень Вам благодарен. Алексей.

[DimaM]

abdary в сообщении #829126 писал(а):

Вернёмся к прежним переменным

Вы не написали начальные условия, поэтому все, что ниже, достаточно бессмысленно.

abdary в сообщении #829126 писал(а):

Может быть мне следует кроме вычитания диф.уравнений выполнить так же и их сложение. Похоже на то, что я из-за этого одну собственную частоту теряю.

Собственная частота тут одна, ее, кстати, нужно найти.

abdary в сообщении #829126 писал(а):

Я не стал редактировать омегу, как требовал форум, и получилось лучше. Форум требует редактировать знак равенства, может быть и этого не делать? А как можно сделать нижний регистр у букв?

Здесь формулы нужно писать в ТеХ, поглядите инструкции. То, что получилось у вас, прямо нарушает правила и выглядит ужасно.

[warlock66613]

Добавлю, что надо окружать долларами и писать в $\TeX$ формулы целиком, а не только отдельные символы.

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Во всех своих сообщениях запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.