Расположение прямой в пространстве.

[torn]

Случайно наткнулся на задачу такого плана:
Найти уравнение прямой $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{s}+t\overrightarrow{u}$ в пространстве $\mathbb{R}^3$. На прямую наложены следующие ограничения:
1. проходит через точку $M=(M_x;M_y;M_z)$;
2. параллельна плоскости $Ax+By+Cz+D=0$;
3. пересекает прямую $\overrightarrow{r_1}=\overrightarrow{s_1}+t_1\overrightarrow{u_1}$.
Из геометрических соображений очевидно, что этих условий достаточно для однозначного определения прямой, естественно кроме вырожденных случаев.
Пытаюсь определить прямую:
1. $\overrightarrow{s}=(M_x;M_y;M_z)$
2. $\overrightarrow{u}\cdot(A;B;C)=0$
3. $\left(\left(\overrightarrow{s_1}-\overrightarrow{s}\right),\overrightarrow{u},\overrightarrow{u_1} \right)=0$
условие 1 однозначно определяет $\overrightarrow{s}$, условия 2 и 3 дают по одному уравнению от трех компонент вектора $\overrightarrow{u}$, для однозначного определения $\overrightarrow{u}$ хочется третье уравнение. Что я потерял?

[Munin]

Если $\vec{u}$ умножить на ненулевой коэффициент, то получится новый направляющий вектор, задающий ту же прямую. Значит, так и должно быть: $\vec{u}$ определяется неоднозначно, а если вам нужна однозначность, то можно его нормировать, и как-то произвольно выбрать знак.

[ewert]

Можно, если очень захочется, получить некий направляющий вектор и явной формулой: $\vec u=\vec n\times[(\vec s-\vec s_1)\times\vec u_1]$.

[torn]

Munin в сообщении #826723 писал(а):

Если $\vec{u}$ умножить на ненулевой коэффициент, то получится новый направляющий вектор, задающий ту же прямую. Значит, так и должно быть: $\vec{u}$ определяется неоднозначно, а если вам нужна однозначность, то можно его нормировать, и как-то произвольно выбрать знак.

Как-то я упустил из виду, что однозначность $\vec{u}$ не нужна для однозначного задания прямой.
Спасибо.

[Munin]

Например, можно наложить такое условие: прямые пересекаются при значении параметра $t=1,$ тогда вектор $\vec{u}$ будет определён однозначно (случаем "плохих" условий пренебрежём: и так приходится пренебрегать случаем, когда вторая прямая параллельна заданной плоскости).