Об одном простом способе вывода формулы предела вида x/sin

[prostoy]

Во многих учебниках по физике и теоретической механике их авторы выводят формулу расчета центростремительного ускорения , при движении материальной точки с постоянной линейной скоростью по круговой траектории, используя замечательный предел.Этот предел представляет собой отношение синуса$ {\sin x}$ к значению его переменной т.е. к аргументу .Проследим, в какой последовательности выводят формулу расчета этого предела ряд авторов и визуально оценим объем этого вывода. Например, Лузин Н.Н. в книге " Дифференциальное исчисление" 1958г., предлагает производить вывод формулы в следующей последовательности: "С этой целью рассмотрим графическое изображение движения точки по окружности радиуса 1 (рис.Ускорение...) и в ней угол АОВ, равный ${2x}$, который полагают небольшим. Ясно, что хорда ВДВ' равна $2 {\sin x}$, а дуга ВАВ' равна просто$ 2 x$, ибо мы углы даем не в градусах,а в радианной мере. Наконец, проводя касательные ВС и В'С в точках В и В' окружности видим, что ВС =$\tg x$, и, значит, обхватывающая ломаная линияВСВ' =$2\tg x $ .Но Для вывода формулы расчета ускорения , при движении материальной точки по криволинейной элементарной геометрии известно, что обхватывающая линия ВСВ' больше кривой дуги ВАВ'. Значит, имеем равенство.$ 2\sin x<2x< 2\tg x$, которые после деления на $2 \sin x$, запишется в виде $ 1<x/\sin x<1/\cos x$. Тогда, при положительном $x$ , стремящимся бесконечно к нулю, $\cos x$ будет стремится к единице, значит и отношение $ x/\sin x$ также стремится к единице " ,как и обратное ему отношение $\sin x/ x$.

Другие авторы вычисляют этот предел путем сравнения площадей геометрических фигур. Можно заметить, что этот вывод сравнительно громоздок ,в то время, как его можно существенно упростить, сократив объем доказательства до одной строки .Есть и другие доказательства величины предела отношений, аналогичных данному. Их суть заключается в том,что искомая величина х находится между описанной и вписанной линии многоугольника, например трапеции. Мы не будем приводить эти доказательства, так как желающие могут найти их в интернете сами.

Приводимое ниже доказательство стоит того, чтобы занести его в книгу рекордов Гинеса, как самое короткое, ведь его длина соизмерима с длиной заголовка. Вот это доказательство:
Для малых углов, согласно разложению в ряд Тейлора, синус малого угла равен самому углу : ${\sin x =x }$ , откуда $ {\sin x/ x }=1$

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

1. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

2. Закончите доказательство.

3. Сформулируйте обсуждаемый вопрос.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

Дубль темы удален