Исследование последовательности на сходимость

[ewert]

al1as в сообщении #819797 писал(а):

Ведь для любого $\epsilon$, по идее, начиная с некоторого номера, разность между членами будет меньшей, чем этот $\epsilon$,

Да, но ведь это между соседними членами. Между тем членов-то много, и они склонны накапливаться...

[SpBTimes]

Вы написали и правда ерунду. Во-первых, я вам предложил "конкретное" $p$ взять. А дальше оценить каждое слагаемое. Ну например, каждое слагаемое явно больше, чем $\arctg(\frac{1}{2n})\arctg(n)$ (это если $p = n$). Ну и дерзайте дальше

[Otta]

al1as в сообщении #819797 писал(а):

То есть что-то вроде

$$| \arctg{(n+1)}\arctg{\frac{1}{n+1}}+...+\arctg{(n+p)}\arctg{\frac{1}{n+p}}|\geqslant|\frac{p \arctg{\frac{1}{n+p}}}{\arctg{(n+p)}}|=|\frac{n \arctg{\frac{1}{2 n}}}{\arctg{2 n}}|>\epsilon$$

Арктангенс в знаменателе откуда? Аккуратнее.

[patzer2097]

al1as в сообщении #819797 писал(а):

Подобное равенство справедливо в окрестности нуля, т.е. все члены произведений вида $ \arctg{\frac{1}{n+s}} $ можем представить в этом виде, но остаются еще арктангенсы, у которых аргумент не стремится к нулю. Или я что-то не так понял?

ну напишите просто $\sum_{t=1}^\infty \arctan\frac{1}{t}>\sum_{t=t_0}^\infty \frac{1}{2t}$ для какого-то достаточно большого $t_0$ и все сведется к гармоническому ряду

[al1as]

SpBTimes в сообщении #819799 писал(а):

Вы написали и правда ерунду. Во-первых, я вам предложил "конкретное" $p$ взять. А дальше оценить каждое слагаемое. Ну например, каждое слагаемое явно больше, чем $\arctg(\frac{1}{2n})\arctg(n)$ (это если $p = n$). Ну и дерзайте дальше

Otta в сообщении #819802 писал(а):

Арктангенс в знаменателе откуда? Аккуратнее.

Хм, ну да, куда-то не туда меня понесло, хотя вроде неравенство-то справедливо?
Ладно, даже если сделать так так:

$$| \arctg{(n+1)}\arctg{\frac{1}{n+1}}+...+\arctg{(n+p)}\arctg{\frac{1}{n+p}}|\geqslant |n\arctg(\frac{1}{2n})\arctg(2n)|>n \arctg{\frac{1}{2n}$$

Все равно нужно как-то оценить арктангенс снизу..Хотя и при стремлении аргумента к нулю арктангенс эквивалентен ему, но что бы я не делал, вольфрам все равно считает аргумент большим, чем арктангенс..Как быть, ведь нужно найти какое-то конкретное значение $\epsilon$?

[Otta]

А $\arctg 2n$ откуда? Ну внимательнее же. Это несложно.

al1as в сообщении #819937 писал(а):

Все равно нужно как-то оценить арктангенс снизу.

Оценивать необязательно, достаточно посмотреть на предел той оценки снизу, что получится и сделать нужные выводы.

[al1as]

Otta в сообщении #819941 писал(а):

А $\arctg 2n$ откуда? Ну внимательнее же. Это несложно.

Но при $p=n$ это и есть самое наименьшее слагаемое, а потом $\arctg(2n) > 1$ при всех натуральных $n$.

Otta в сообщении #819941 писал(а):

Оценивать необязательно, достаточно посмотреть на предел той оценки снизу, что получится и сделать нужные выводы.

В пределе $\frac{1}{2}$, т.е. для $\epsilon=\frac{1}{2}$ найдутся столь большие $n$ и $p=n$, что будет верно это неравенство?

[Otta]

al1as в сообщении #819948 писал(а):

это и есть самое наименьшее слагаемое,

Арктангенс возрастает?

al1as в сообщении #819948 писал(а):

т.е. для $\epsilon=\frac{1}{2}$

Ну, $1/2$ может и не хватить. Попробуйте писать определения. Вам, на самом деле, что нужно? На самом деле Вам нужно, чтобы предел был ненулевой. И отрицание определения предела.