Исследование последовательности на сходимость

[al1as]

Здравствуйте! Пытаюсь при помощи критерия Коши исследовать последовательность на сходимость:

$$x_{n} = \arctg{1}\arctg{1}+\arctg{2}\arctg{\frac{1}{2}}+...+\arctg{n}\arctg{\frac{1}{n}$$

Нутром чую, что сходится, т.к. при $n\to\infty$ значение значение первого арктангенса в произведении будет лишь $\approx \frac{\pi}{2}$, а второй множитель будет стремиться к нулю,т.е. для любого наперед заданного "расстояния" $\epsilon$ можем найти номер $N(\epsilon)$, начиная с которого все члены будут лежать друг от друга не более, чем на заданном расстоянии.
Но на первом же шаге натыкаюсь на проблему: не могу догадаться, чем можно оценить арктангенсы сверху чем-то, не зависящем от $p$, в данном выражении:

$$| \arctg{(n+1)}\arctg{\frac{1}{n+1}}+\arctg{(n+2)}\arctg{\frac{1}{n+2}}+...+\arctg{(n+p)}\arctg{\frac{1}{n+p}}|$$

Ограниченность множества значений арктангенса здесь не кстати?

[patzer2097]

Можно вспомнить стандартное неравенство $x<\tan x$ при $x\in(0,1)$, а потом вспомнить про гармонический ряд

[Nemiroff]

al1as в сообщении #819701 писал(а):

Нутром чую, что сходится, т.к. при $n\to\infty$ значение значение первого арктангенса в произведении будет лишь $\approx \frac{\pi}{2}$, а второй множитель будет стремиться к нулю,т.е. для любого наперед заданного "расстояния" $\epsilon$ можем найти номер $N(\epsilon)$, начиная с которого все члены будут лежать друг от друга не более, чем на заданном расстоянии.

А вам обязательно критерием Коши пользоваться? Просто так-то вы уже решили --- произведение бесконечно малой на ограниченную.

[patzer2097]

Nemiroff в сообщении #819706 писал(а):

А вам обязательно критерием Коши пользоваться? Просто так-то вы уже решили --- произведение бесконечно малой на ограниченную.

Вы не правы, там в условии $x_n=\sum_{t=1}^n \arctan t\arctan\frac1t$

[Nemiroff]

А-а-а, да, действительно. Прошу прощения.
Тогда расходится.

[al1as]

patzer2097 в сообщении #819703 писал(а):

Можно вспомнить стандартное неравенство $x<\tan x$ при $x\in(0,1)$, а потом вспомнить про гармонический ряд

(Оффтоп)

К сожалению, вспомнить про гармонический ряд не получается, так как еще не проходили подобное, на данный момент лишь функции и последовательности осилил. Мне бы, как сказать, стандартными методами что ли..А про неравенство это я и не забывал, но как здесь его применить? Если я перейду к тангенсам, то что мне это даст?

[Otta]

al1as в сообщении #819701 писал(а):

Нутром чую, что сходится

Плохо чуете. Она расходится. Ограничивайте снизу.

[patzer2097]

al1as в сообщении #819715 писал(а):

К сожалению, вспомнить про гармонический ряд не получается, так как еще не проходили подобное

так про него можно прочитать практически где угодно

al1as в сообщении #819715 писал(а):

А про неравенство это я и не забывал, но как здесь его применить?

UPD. я был неправ с таким неравенством но все равно, достаточно $\arctan (h)=h+o(h)$, - это просто если, конечно, Вы определение производной уже знаете

[SpBTimes]

Ну довольно очевидно, что расходится, если хоть что-то слышали про ряды.
А так, возьмите, скажем, от кусок от $n$ до $2n$, да и оцените "тупенько" - наименьшее слагаемое (которое можно состряпать) на количество.

[Otta]

patzer2097

patzer2097 в сообщении #819723 писал(а):

написать $\arctan\frac1t<1/t$

Не применится. Неравенство в эту сторону не нужно.

[Toucan]

al1as, не надо прятать собственные соображения по решению задачи в тег [оff] - это не оффтопик. Убрал.

[patzer2097]

(Otta)

Otta в сообщении #819728 писал(а):

patzer2097

patzer2097 в сообщении #819723 писал(а):

написать $\arctan\frac1t<1/t$

Не применится. Неравенство в эту сторону не нужно.

я был неправ, спасибо за правку!

[Otta]

(patzer2097)

Да не угонишься за Вами. Не буду больше корректировать.
А потом бросил пить, потому что устал...

[ewert]

al1as в сообщении #819715 писал(а):

К сожалению, вспомнить про гармонический ряд не получается, так как еще не проходили подобное,

Безусловно (практически): в первом семестре ряды никто вообще не проходит (во всяком случае, никто из сознательных кадров). Однако же некоторые товарищи в качестве "пропедевтики" разбирают со студентами в рамках просто пределов как таковых сходимость или нет последовательности $a_n=1+\frac12+\frac13+\frac14+\ldots+\frac1n$; это, в общем-то, нетрудно -- достаточно просто поставить вопрос и разумно к нему подойти.

Так вот. Если у вас такая последовательность рассматривалась -- то далее всё сводится уже к стандартным свойствам собственно пределов. Если же нет -- то эта задачка откровенно бессмысленна.

[al1as]

(Оффтоп)

Мда, подвело по-видимому чутье..

Otta в сообщении #819717 писал(а):

al1as в сообщении #819701 писал(а):

Нутром чую, что сходится

Плохо чуете. Она расходится.

Но почему же?..Ведь для любого $\epsilon$, по идее, начиная с некоторого номера, разность между членами будет меньшей, чем этот $\epsilon$, так как каждый последующий член последовательности отличается от предыдущего на очень малое значение..Или все-таки этого значения хватит, чтобы эта разность превысила $\epsilon$?
По-видимому, на этот вопрос "исследователь" должен ответить в результате оценки, но как можно узнать заранее: в какую сторону оценивать(так сказать, "на глаз")?Просто до этого приходилось сталкиваться лишь с заданиями типа "докажите сходимость/расходимость.."

patzer2097 в сообщении #819723 писал(а):

al1as в сообщении #819715 писал(а):

К сожалению, вспомнить про гармонический ряд не получается, так как еще не проходили подобное

так про него можно прочитать практически где угодно

Почитал про гармонический ряд, а точнее про последовательность частичных сумм гармонического ряда, опять же каждый последующий член отличается от предыдущего на чрезвычайно малое значение, не понятно, как все это может стремиться к бесконечности..Может быть величина разности между соседними членами компенсируется их количеством, т.е. бесконечная сумма бесконечно малых значений дает бесконечность?

patzer2097 в сообщении #819723 писал(а):

al1as в сообщении #819715 писал(а):

А про неравенство это я и не забывал, но как здесь его применить?

UPD. я был неправ с таким неравенством но все равно, достаточно $\arctan (h)=h+o(h)$, - это просто если, конечно, Вы определение производной уже знаете

Подобное равенство справедливо в окрестности нуля, т.е. все члены произведений вида $ \arctg{\frac{1}{n+s}} $ можем представить в этом виде, но остаются еще арктангенсы, у которых аргумент не стремится к нулю. Или я что-то не так понял?

SpBTimes в сообщении #819726 писал(а):

А так, возьмите, скажем, от кусок от $n$ до $2n$, да и оцените "тупенько" - наименьшее слагаемое (которое можно состряпать) на количество.

То есть что-то вроде

$$| \arctg{(n+1)}\arctg{\frac{1}{n+1}}+...+\arctg{(n+p)}\arctg{\frac{1}{n+p}}|\geqslant|\frac{p \arctg{\frac{1}{n+p}}}{\arctg{(n+p)}}|=|\frac{n \arctg{\frac{1}{2 n}}}{\arctg{2 n}}|>\epsilon$$

При $p=n$; но как "отделаться" от $n$, ведь $\epsilon$ не должно зависеть ни от каких n..

(Оффтоп)

Извиняюсь, если все это бред..