Пусть
,
. Предположим, что выбор является случайным, то есть
,
это вероятностное распределение на альтернативах из
. Например, для
имеем
, где
,
,
. Будем говорить, что правило случайного выбора
можно рационализировать по предпочтению, если существует вероятностное распределение
на множестве всех шести строгих предпочтений для альтернатив из
такой, что для каждого
,
порождается распределением
. Например
,
.
1.) Показать, что правило случайного выбора
можно рационализировать по предпочтению.
2.) Показать, что правило случайного выбора
нельзя рационализировать по предпочтению.
Идея решения.Для всего множества альтернатив
я обозначил вероятности
. Их сумма дает единицу, все эти события не пересекаются, потому образуют полную группу событий.
, аналогично еще пять равенств записываем.
В пункте 1 все
равны
.
Из полученной системы выходит
,
,
.
В пункте 2 зависимости выходят похожие:
,
,
.
В первом случае можно подставить все
, а во втором
, кроме
. Получается, что в обоих пунктах можно рационализировать. Пробовал искать еще какие-то связи между вероятностями через формулы Баеса и полной вероятности, но они либо дают такой же результат, либо ни к чему не приводят. Подскажите, что с этой задачей можно сделать.