2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопрос по теории множеств
Сообщение05.01.2014, 00:49 


20/12/13
139
Не могу разобраться в доказательстве теоремы:
Пусть М - упорядоченное множество. Если каждое подмножество множества М имеет инфинум, то каждое подмножество имеет и супремум.

Доказательство начинают так: если подмножество Т множества М пустое, то утверждение тривиальное, если подмножество Т не пустое, то обозначим Z множество всех верхних границ. Z не пустое, поскольку содержит элемент $\inf{\varnothing}$.
Но разве содержит? Рассмотрим множество $(\mathbb{N}, \leq)$оно упорядоченное, более того полностью упорядоченное, и каждое его подмножество имеет инфинум, но супремум иметь не обязано. Разве не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории множеств
Сообщение05.01.2014, 00:54 
Аватара пользователя


11/06/12
7738
Минск

(Про ТеХ)

Пустое множество в наших краях лучше обозначать так: \varnothing.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории множеств
Сообщение05.01.2014, 00:57 


20/12/13
139

(Оффтоп)

а как обозначить множество натуральных чисел? Не нашёл у себя в латексе

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории множеств
Сообщение05.01.2014, 01:07 
Аватара пользователя


11/06/12
7738
Минск

(Снова про ТеХ)

\mathbb{N}. Аналогично для $\mathbb{R}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{C}$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории множеств
Сообщение05.01.2014, 02:15 
Аватара пользователя


26/05/12
492
приходит весна?
А можно определения того, что такое "инфинум" и "супремум" множества (особенно пустого). И комментарий по поводу того, что понимается под словами "у множества имеется"? Они означают "является элементом этого множества" или же "существует такой элемент, вообще говоря, принадлежащий другому множеству, обладающий такой-то особенностью"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории множеств
Сообщение05.01.2014, 03:53 
Заслуженный участник


08/01/12
907
Felt в сообщении #809629 писал(а):
Рассмотрим множество $(\mathbb{N}, \leq)$оно упорядоченное, более того полностью упорядоченное, и каждое его подмножество имеет инфинум

Не каждое: пустое не имеет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории множеств
Сообщение05.01.2014, 10:38 


09/06/06
367
А если взятьподмножество чисел кратных 3-м или 5-и ? Где здесь инфинум и супремум ?
На пальцах , по-простецки , можно пояснить так :инфинум какого-либо подмножества можно взять в качестве супремума для подмножеств содержащие предшествующие элементы .

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории множеств
Сообщение05.01.2014, 12:56 


20/12/13
139
apriv в сообщении #809655 писал(а):
Не каждое: пустое не имеет.


Вот оно как. У пустого подмножества множества М супремум это инфинум М, а инфинум - супремум М. И в таком случае если ДАЖЕ пустое множество имеет инфинум, то из этого следует, что множестов М имеет супремум, я правильно понял?

-- 05.01.2014, 11:01 --

ГАЗ-67 в сообщении #809687 писал(а):
А если взятьподмножество чисел кратных 3-м или 5-и ? Где здесь инфинум и супремум ?
На пальцах , по-простецки , можно пояснить так :инфинум какого-либо подмножества можно взять в качестве супремума для подмножеств содержащие предшествующие элементы .


Именно так и доказывается эта теорема в учебнике - берём множество верхних границ любого подмножества. Оно в свою очередь тоже является подмножеством, а следовательно имеет инфинум. Инфинум множества верхних границ и есть по определению супремум.

И тогда немного дополню предыдующие слова, выходит, еслия правильно понял, рассуждения должны быть такие: берём любое подмножество Т, рассматриваем множество его верхних границ. Могут настать два случая 1) оно не пустое, тогда берём его инфинум, который согласно условию существует и утверждение доказано. 2) оно пустое, тогда берём и его инфинум, который является в свою очередь супремумом множества М, а этот инфинум существует по условию. Тогда приходим к противоречию - если существует супремум у подмножества Т, значает подмножество верхних границ всё же не пустое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории множеств
Сообщение05.01.2014, 13:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1729
Москва

(Оффтоп)

Давайте все же писать грамотно: инфимум.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории множеств
Сообщение05.01.2014, 13:23 
Заслуженный участник


11/05/08
31278
Felt в сообщении #809721 писал(а):
берём любое подмножество Т, рассматриваем множество его верхних границ. Могут настать два случая 1) оно не пустое, тогда берём его инфинум, который согласно условию существует и утверждение доказано. 2) оно пустое,

Не так. Первый случай, который Вы приводили в стартовом посте -- это пустота самого множества, а не множества его верхних границ (множество верхних границ всегда непусто, т.к. включает в себя как минимум $\sup M=\inf\varnothing$, существующий по условию). Если же $T$ пусто, то его супремумом является $\inf M$ (существующий опять же по условию), в этом и тривиальность этого случая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории множеств
Сообщение05.01.2014, 13:35 


20/12/13
139
Ага, понял. Изначально меня смутило, что в доказательстве сразу сказали "оно не пустое, поскольку содержит $\inf {\varnothing}$ и отнёсся к этому как к "формальности"

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group