Вопрос по теории множеств

[Felt]

Не могу разобраться в доказательстве теоремы:
Пусть М - упорядоченное множество. Если каждое подмножество множества М имеет инфинум, то каждое подмножество имеет и супремум.

Доказательство начинают так: если подмножество Т множества М пустое, то утверждение тривиальное, если подмножество Т не пустое, то обозначим Z множество всех верхних границ. Z не пустое, поскольку содержит элемент $\inf{\varnothing}$.
Но разве содержит? Рассмотрим множество $(\mathbb{N}, \leq)$оно упорядоченное, более того полностью упорядоченное, и каждое его подмножество имеет инфинум, но супремум иметь не обязано. Разве не так?

[Aritaborian]

(Про ТеХ)

Пустое множество в наших краях лучше обозначать так: \varnothing.

[Felt]

(Оффтоп)

а как обозначить множество натуральных чисел? Не нашёл у себя в латексе

[Aritaborian]

(Снова про ТеХ)

\mathbb{N}. Аналогично для $\mathbb{R}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{C}$...

[B@R5uk]

А можно определения того, что такое "инфинум" и "супремум" множества (особенно пустого). И комментарий по поводу того, что понимается под словами "у множества имеется"? Они означают "является элементом этого множества" или же "существует такой элемент, вообще говоря, принадлежащий другому множеству, обладающий такой-то особенностью"?

[apriv]

Felt в сообщении #809629 писал(а):

Рассмотрим множество $(\mathbb{N}, \leq)$оно упорядоченное, более того полностью упорядоченное, и каждое его подмножество имеет инфинум

Не каждое: пустое не имеет.

[ГАЗ-67]

А если взятьподмножество чисел кратных 3-м или 5-и ? Где здесь инфинум и супремум ?
На пальцах , по-простецки , можно пояснить так :инфинум какого-либо подмножества можно взять в качестве супремума для подмножеств содержащие предшествующие элементы .

[Felt]

apriv в сообщении #809655 писал(а):

Не каждое: пустое не имеет.

Вот оно как. У пустого подмножества множества М супремум это инфинум М, а инфинум - супремум М. И в таком случае если ДАЖЕ пустое множество имеет инфинум, то из этого следует, что множестов М имеет супремум, я правильно понял?

-- 05.01.2014, 11:01 --

ГАЗ-67 в сообщении #809687 писал(а):

А если взятьподмножество чисел кратных 3-м или 5-и ? Где здесь инфинум и супремум ?
На пальцах , по-простецки , можно пояснить так :инфинум какого-либо подмножества можно взять в качестве супремума для подмножеств содержащие предшествующие элементы .

Именно так и доказывается эта теорема в учебнике - берём множество верхних границ любого подмножества. Оно в свою очередь тоже является подмножеством, а следовательно имеет инфинум. Инфинум множества верхних границ и есть по определению супремум.

И тогда немного дополню предыдующие слова, выходит, еслия правильно понял, рассуждения должны быть такие: берём любое подмножество Т, рассматриваем множество его верхних границ. Могут настать два случая 1) оно не пустое, тогда берём его инфинум, который согласно условию существует и утверждение доказано. 2) оно пустое, тогда берём и его инфинум, который является в свою очередь супремумом множества М, а этот инфинум существует по условию. Тогда приходим к противоречию - если существует супремум у подмножества Т, значает подмножество верхних границ всё же не пустое.

[ex-math]

(Оффтоп)

Давайте все же писать грамотно: инфимум.

[ewert]

Felt в сообщении #809721 писал(а):

берём любое подмножество Т, рассматриваем множество его верхних границ. Могут настать два случая 1) оно не пустое, тогда берём его инфинум, который согласно условию существует и утверждение доказано. 2) оно пустое,

Не так. Первый случай, который Вы приводили в стартовом посте -- это пустота самого множества, а не множества его верхних границ (множество верхних границ всегда непусто, т.к. включает в себя как минимум $\sup M=\inf\varnothing$, существующий по условию). Если же $T$ пусто, то его супремумом является $\inf M$ (существующий опять же по условию), в этом и тривиальность этого случая.

[Felt]

Ага, понял. Изначально меня смутило, что в доказательстве сразу сказали "оно не пустое, поскольку содержит $\inf {\varnothing}$ и отнёсся к этому как к "формальности"