Не каждое: пустое не имеет.
Вот оно как. У пустого подмножества множества М супремум это инфинум М, а инфинум - супремум М. И в таком случае если ДАЖЕ пустое множество имеет инфинум, то из этого следует, что множестов М имеет супремум, я правильно понял?
-- 05.01.2014, 11:01 --А если взятьподмножество чисел кратных 3-м или 5-и ? Где здесь инфинум и супремум ?
На пальцах , по-простецки , можно пояснить так :инфинум какого-либо подмножества можно взять в качестве супремума для подмножеств содержащие предшествующие элементы .
Именно так и доказывается эта теорема в учебнике - берём множество верхних границ любого подмножества. Оно в свою очередь тоже является подмножеством, а следовательно имеет инфинум. Инфинум множества верхних границ и есть по определению супремум.
И тогда немного дополню предыдующие слова, выходит, еслия правильно понял, рассуждения должны быть такие: берём любое подмножество Т, рассматриваем множество его верхних границ. Могут настать два случая 1) оно не пустое, тогда берём его инфинум, который согласно условию существует и утверждение доказано. 2) оно пустое, тогда берём и его инфинум, который является в свою очередь супремумом множества М, а этот инфинум существует по условию. Тогда приходим к противоречию - если существует супремум у подмножества Т, значает подмножество верхних границ всё же не пустое.