Задачка из учебника по функану

[Rasool]

Задачка из учебника по функану Колмогорова, Фомина, глава II, параграф 2.
Открытым шаром $B(x_0, r)$ в метрическом пространстве $R$ мы будем называть совокупность точек $x \in R$, удовлетворяющих условию $$\rho (x, x_0) < r. $$
Замкнутым шаром $B(x_0, r)$ мы назовем совокупность точек $x \in R$, удовлетворяющих условию $$\rho (x, x_0) \leqslant r. $$
Привести пример метрического пространства и таких двух шаров $B(x, \rho_1)$, $B(y, \rho_2)$ в нем, что $\rho_1 > \rho_2$, и тем не менее $B(x, \rho_1) \subset B(y, \rho_2)$.

Единственно, что приходит в голову - нарисовать последовательно на прямой линии три точки A, B, C и установить между ними расстояния $\rho(A, B) = 2$, $\rho(B, C) = 1$, $\rho(A, C) = 1.5$. Тогда неравенство треугольника выполняется.

[ewert]

Возьмите полупрямую с обычной метрикой и посмотрите, что из себя представляют шары вблизи края.

[mihailm]

Rasool в сообщении #789987 писал(а):

...Единственно, что приходит в голову - нарисовать последовательно на прямой линии три точки A, B, C и установить между ними расстояния $\rho(A, B) = 2$, $\rho(B, C) = 1$, $\rho(A, C) = 1.5$. Тогда неравенство треугольника выполняется.

На трех точках такую конструкцию можно построить (можно взять обычное расстояние)

[SpBTimes]

Ну так взять $[0; 1]$ с метрикой $\rho(x, y) = |x - y|$.
И рассмотреть шар с центром в точке $1/2$ радиуса $1/2 + 1/1000$, а второй - в точке $1$ радиуса $3/4$

[Rasool]

ewert в сообщении #789989 писал(а):

Возьмите полупрямую с обычной метрикой и посмотрите, что из себя представляют шары вблизи края.

Понял, спасибо.

[Rasool]

Задачка из учебника по функану Колмогорова, Фомина, глава II, параграф 3.

Цитата:

Привести пример полного метрического пространства и последовательности вложенных друг в друга замкнутых шаров в нем, имеющей пустое пересечение.

Честно говоря, в голову ничего не приходит.

[SpBTimes]

Попробуйте, чтобы внутренности ваших шаров образовывали что-то вроде множеств ${n, n+1, ...}$

[mihailm]

Тут до ответа догадаться непросто, см. например Шилов Г.Е., - Математический анализ (функции одного переменного, ч.1-2), стр 105

[Rasool]

SpBTimes в сообщении #804240 писал(а):

Попробуйте, чтобы внутренности ваших шаров образовывали что-то вроде множеств ${n, n+1, ...}$

Берем отрезок, делим его на ${n}$ отрезков, один из образовавшихся отрезков делим на ${n+1}$ и так далее. Так?

[Oleg Zubelevich]

вопрос в том, что понимать под $\subset$. Если это на самом деле $\subseteq$ то любое метрическое пространство с ограниченной метрикой доставляет такой пример
(а любая метрика эквивалентна ограниченой )

[Rasool]

Rasool в сообщении #804236 писал(а):

Задачка из учебника по функану Колмогорова, Фомина, глава II, параграф 3.

Цитата:

Привести пример полного метрического пространства и последовательности вложенных друг в друга замкнутых шаров в нем, имеющей пустое пересечение.

Честно говоря, в голову ничего не приходит.

Можно взять отрезок ${(a, b)}$ и точкой поделить его пополам, потом взять правый образовавшийся отрезок и поделить его точкой пополам, потом то же самое делать со всеми правыми отрезками. Получается функциональная последовательность, которая сходится к ${b}$. А пересечение шаров все равно будет пустым - противоречие с условием теоремы о вложенных шарах. Что это значит?

[mihailm]

Rasool в сообщении #805942 писал(а):

...Что это значит?

То что вы и написали - пересечение будет пустым, и ничего более.
К исходной задаче это не имеет отношения

[Rasool]

Rasool в сообщении #805942 писал(а):

Rasool в сообщении #804236 писал(а):

Задачка из учебника по функану Колмогорова, Фомина, глава II, параграф 3.

Цитата:

Привести пример полного метрического пространства и последовательности вложенных друг в друга замкнутых шаров в нем, имеющей пустое пересечение.

Честно говоря, в голову ничего не приходит.

Можно взять отрезок ${(a, b)}$ и точкой поделить его пополам, потом взять правый образовавшийся отрезок и поделить его точкой пополам, потом то же самое делать со всеми правыми отрезками. Получается функциональная последовательность, которая сходится к ${b}$. А пересечение шаров все равно будет пустым - противоречие с условием теоремы о вложенных шарах. Что это значит?

Извиняюсь - пересечение таки не будет пустым.

[Rasool]

mihailm в сообщении #804263 писал(а):

Тут до ответа догадаться непросто, см. например Шилов Г.Е., - Математический анализ (функции одного переменного, ч.1-2), стр 105

Спасибо большое.

[B@R5uk]

Rasool в сообщении #789987 писал(а):

Привести пример метрического пространства и таких двух шаров $B(x, \rho_1)$, $B(y, \rho_2)$ в нем, что $\rho_1 > \rho_2$, и тем не менее $B(x, \rho_1) \subset B(y, \rho_2)$.

Вот оказывается на что наш лектор по матану намекал, когда советовал почитать историю про математика из "Похождений бравого солдата Швейка". Там прохфессор из психушки доказал, что внутри Земли находится шар, радиус которого ещё больше, чем радиус Земли.

ewert в сообщении #789989 писал(а):

Возьмите полупрямую с обычной метрикой и посмотрите, что из себя представляют шары вблизи края.

Ваше предложение использует тот факт, что шары на границах "урезанных" множеств получаются "меньше размером", чем "обычно". А можно ли построить красивый пример, который не будет использовать эту особенность "обрезанных" метрических пространств?