Кривая второго порядка

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Есть такая задачка: записать каноническое уравнение кривой второго порядка, определить ее тип:

$$9x^2-4xy+6y^2-10x-6y+25=0$$

Так как присутствует слагаемое $xy$, то надо сделать поворот системы координат на угол $\varphi$, данный угол вычисляется из соотношения:

$$\ctg(2 \varphi) = \frac{a_{11}-a_{22}}{2a_{12}} = \frac{9-6}{-4} = -\frac{3}{4}$$

И вот тут возникла проблема, так как не удалось найти точное значение $\arcctg \left ( -\frac{3}{4} \right )$.

С другой стороны, нам не нужен сам угол (или же нужен? ведь на этот угол надо поворачивать систему координат), нужны его синус и косинус, тогда, например:

$$\ctg(2 \varphi)= -\frac{3}{4} \Rightarrow \varphi= \frac{\arcctg \left ( -\frac{3}{4} \right )}{2}$$

$$\sin (\varphi )= \sin \left ( \frac{\arcctg \left ( -\frac{3}{4} \right )}{2} \right )$$

Последнее выражение равно:

$$- \frac{1}{\sqrt{5}}$$

Если не сложно, подскажите, пожалуйста, как его можно найти

-- 22.12.2013, 04:45 --

UPD: Я дошел до того, что будет пифагоров треугольник со сторонами $3$, $4$ и $5$ и углом $2 \varphi$, что делать дальше - не знаю...

[Otta]

Limit79 в сообщении #804465 писал(а):

Если не сложно, подскажите, пожалуйста, как его можно найти

Выразить синус через котангенс двойного угла.

А чего б Вам полные квадраты не повыделять?

[Limit79]

Otta в сообщении #804466 писал(а):

Выразить синус через котангенс двойного угла.

А не подскажите, пожалуйста, формулу, я нашел лишь выражение котангенса двойного угла через котангенсы.

Otta в сообщении #804466 писал(а):

А чего б Вам полные квадраты не повыделять?

А как быть с $xy$?

[Otta]

Limit79 в сообщении #804467 писал(а):

А как быть с $xy$?

Так с него и начать.

Limit79 в сообщении #804467 писал(а):

я нашел лишь выражение котангенса двойного угла через котангенсы.

А Вы не ищите. Я, если начну искать, точно не найду. Выведите.
Например, начав с основного тригонометрического тождества для двойного аргумента. Просто первое, что приходит в голову.

[Limit79]

Otta в сообщении #804468 писал(а):

Так с него и начать.

Начать выделение полных квадратов с $xy$? Я чего-то не понимаю

-- 22.12.2013, 05:09 --

Если выделять полные квадраты с учетом $xy$, то будет что-то вроде $(ax+by)^2+...$, но ведь это не канонический вид.

[Otta]

Так, чтобы в первый квадрат вошел квадрат одной переменной и все смешанное произведение полностью. Ну же, это стандартный материал.

-- 22.12.2013, 06:14 --

Limit79 в сообщении #804469 писал(а):

но ведь это не канонический вид.

А Вы как хотели, шоб сразу? сразу никто не обещал.

[Limit79]

Otta

$$5x^2+5y^2+(y-2x)^2 - 10x-6y+25=0$$

Дальше выделать полные квадраты по икс и игрек?

-- 22.12.2013, 05:16 --

Otta в сообщении #804470 писал(а):

А Вы как хотели, шоб сразу? сразу никто не обещал.

Я просто не знаю такого способа, но, чувствую, он лучше предложенного мною, ибо предложенный мной очень громоздок.

-- 22.12.2013, 05:21 --

Otta
Вот такая штука получилась:

$$5 (x-1)^2 + 5 \left ( y -\frac{3}{5}\right )^2 + (y-2x)^2 + 11 = 0$$

-- 22.12.2013, 05:22 --

А теперь, смею предположить, надо ввести новую систему координат, чтобы занулить $(y-2x)^2$, то есть как-нибудь вроде $y'=2x$...

[Otta]

Limit79 в сообщении #804471 писал(а):

Otta

$$5x^2+5y^2+(y-2x)^2 - 10x-6y+25=0$$

Дальше выделать полные квадраты по икс и игрек?

Не-не, надо, чтобы один из квадратов ушел тоже.
Пример:

$$3x^2+2xy+y^2=\left((\sqrt 3 x)^2+2(\sqrt 3x)\frac y {\sqrt 3}+\left(\frac y {\sqrt 3}\right)^2\right)+y^2-\left(\frac y {\sqrt 3}\right)^2$$

А какой у Вас учебник? Меня не вдохновляет рассказывать целую тему. Обычно в учебниках этот способ есть. Ну или с помощью приведения к главным осям квадратичной форму (ищем собственные значения и т.д.). Способ с поворотом хорош только тогда, когда нужно определиться на какой именно угол осуществляется поворот. Если, например, нужно только каноническое уравнение кривой, то он, имхо, незачем.

[Limit79]

Otta
Учебник могу найти любой, который есть в интернете

Подскажите, пожалуйста, а как этот способ называется, и, если знаете, в каком учебнике он описан? А то смотрю во многих пособиях - только через поворот.

[Otta]

Приведение к главным осям методом Лагранжа
или
Приведение кривой к каноническому виду методом Лагранжа
или (кто не знал/забыл про Лагранжа) попросту
то же методом выделения полных квадратов.

[Limit79]

Otta
Большое спасибо! Завтра (а точнее уже сегодня) посмотрю!

[Otta]

Посмотрела по тырнету немножко, везде этот метод излагается для приведения к каноническому виду квадратичных форм. Это без разницы, суть та же. Единственно, когда будете вводить новые переменные, потребуется отследить, как преобразуется линейная часть в уравнении кривой.

Да, еще. Важно. При Вашем способе преобразования получаются ортогональными автоматически. При всех остальных за этим надо следить. Ортогональность не всегда важна (скажем, эллипс не станет гиперболой ни при какой замене), но не факт, что она не важна вам.

[fedd]

А существует ли такая кривая:

$$9x^2-4xy+6y^2-10x-6y+25=0$$

??
Я попытался явно выразить $y$ и получил
$ y=\frac {x}{3} +\frac {1}{2} \pm \frac {i}{6} \sqrt{50 \left ( x-\frac{18}{25}\right )^2+\frac{2877}{25}}$
Мне кажется, где-то опечатка в исходном выражении.
Вот если бы было, например, так

$$9x^2-4xy+6y^2-10x-6y-25=0$$

то имели бы эллипс.

[Otta]

Классификации в любом случае поддается.

fedd в сообщении #804505 писал(а):

$ y=\frac {x}{3} +\frac {1}{2} \pm \frac {i}{6} \sqrt{50 \left ( x-\frac{18}{25}\right )^2+\frac{2877}{25}}$

Не слишком злоупотребляйте Вольфрамом, при желании и вполне почтенную гиперболу можно в виде
$y=\pm i\sqrt{1-x^2}$ записать, это еще ничего не значит.
Даже если Вы решили, что уравнение задает пустое множество, это требуется обосновать.

[Ms-dos4]

fedd
Здесь вроде бы мнимый эллипс (если я не ошибся при беглых подсчётах).