Интеграл по замкнутой поверхности

[Devin]

$\int\limits_S n[\nabla\times(a\times r)]dS$
где a - вектор, $r=x^i e_i$
И нужно найти один из пяти правильных ответов
$\int\limits_S n[\nabla\times(a\times r)]dS=\int\limits_V [2\nabla a-(\nabla a)^T + r\nabla\cdot\nabla a-(\nabla\nabla\cdot a)r]dV$
$\int\limits_S n[\nabla\times(a\times r)]dS=\int\limits_V [3\nabla a-(\nabla a)E + r\nabla\cdot\nabla a-(\nabla\nabla\cdot a)r]dV$
$\int\limits_S n[\nabla\times(a\times r)]dS=\int\limits_V [3\nabla a-(\nabla a)E + r\cdot\nabla\nabla a-(\nabla\cdot \nabla a)r]dV$
$\int\limits_S n[\nabla\times(a\times r)]dS=\int\limits_V [3\nabla a-(\nabla a)E + r\cdot\nabla\nabla a-(\nabla\nabla\cdot a)r]dV$
$\int\limits_S n[\nabla\times(a\times r)]dS=\int\limits_V [2\nabla a-2(\nabla a)^T + (\nabla\nabla a)\cdot r-(\nabla\nabla\cdot a)r]dV$
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Чтобы решить эту задачу на понадобиться вот эта формула(Гауса-Остоградского)
$\int\limits_V \nabla PdV=\int\limits_S nPdS$ (1)
Я решил две похожие задачи.
1) когда a константа
$\nabla\times(a\times r)=\nabla_n e^n\times(a^i x^i\epsilon_{ijk} e^k)=a^i (\nabla_n x^i)\epsilon_{ijk} \epsilon^{nkp} e_p= a^i \delta_n^j \delta_{ij}^{pn} e_p=a^i(\delta_n^j \delta_i^p\delta_j^n-\delta_n^j\delta_j^p\delta_j^n)e^p=a^i(\delta_j^j\delta_i^p- \delta_j^p\delta_i^j)e_p=2a$
Ну и подставляем в (1) получаем какой-то ответ
2)Если a и r векторы
Запишем в компонентном виде
$P_p=\varepsilon_{pqj}\varepsilon_{ijk}(a_j r_k)_{,q}=\varepsilon_{pqj}\varepsilon_{ijk}(a_{j,q}r_k+a_jr_{k,q})= (\delta_{pj}\delta_{qk}-\delta_{qk}\delta_{qj})(a_{j,q}r_k+a_jr_{k,q})= a_{p,q}r_q-a{q,q}r_p+a_pr_{q,q}-a_qr_{p,q}= (r\cdot\nabla)a-r(\nabla\cdot a)+a(\nabla\cdot r)-(a\cdot\nabla)r{$
Подставляем в 1 получаем какой-то ответ.
Вопрос, я наверно должен решать как во втором примере. Но тогда $r=x^i e_i$
в таком виде и подставлять, а в таком $\boldsymbol{a}=a_j$?
Помогите пожалуйста решить эту задачу. Мне очень нужна ваша помощь.

[Munin]

Вы пытаетесь применять более мощный матаппарат тензоров, когда надо просто на уровне векторов взять дивергенцию от выражения под интегралом. Причём, такое впечатление, что вы в тензорах путаетесь, и в векторах тоже. Чтобы вообще лезть в тензоры, надо сначала научиться работать с векторами ловко, довести вычисления до автоматизма.

[Devin]

Спасибо большое что ответили.
Но я что то вообще запутался.
r - вроде тоже тензор первого ранга, значит тоже вектор как и a?
А $div(rot(a\times r))$ должно равнятся нулю.
А если это 0, тогда чего решать в это задаче?(наверно что-то неправильно понял)

[Munin]

Что-то я засомневался. Действительно, справа варианта 0 нет.

Как предмет называется, о чём он? Может, $\times$ - это $\otimes,$ тензорное произведение? Но это странная мешанина нотаций...

[Утундрий]

А, знакомые каляки. Посему мыслю так: хе это векторное умножение, под интегралом стоит тензор второго рангу, правильный ответ располагается под нумером четыре, а пользоваться для его отыскания надобно бацминусцабом (только следить, чтобы сгоряча лишнего не продифференцировать).

[Munin]

Утундрий в сообщении #802364 писал(а):

под интегралом стоит тензор второго рангу

А как он второй ранг получает-то?

[Утундрий]

$n$ это вектор и в квадратных скобках тоже стоит вектор. Да и варианты ответа явно тензоры же.

P.S. А точка это свёртка.

[Munin]

Утундрий в сообщении #802395 писал(а):

$n$ это вектор и в квадратных скобках тоже стоит вектор. Да и варианты ответа явно тензоры же.

То есть, вы считаете, что под интегралом $\mathbf{n}\otimes\bigl(\nabla\times(\mathbf{a}\times\mathbf{r})\bigr)$? Но тогда Гаусса-Остроградского применить нельзя.

[Утундрий]

Munin в сообщении #802404 писал(а):

То есть, вы считаете...

Приходится, так как это видимо единственный способ придать заданию смысл.

Munin в сообщении #802404 писал(а):

Но тогда Гаусса-Остроградского применить нельзя

Похоже, формула $(1)$ в стартовом сообщении полагается применимой для $P$ любой природы.

[Munin]

Там же дело не в $P,$ там дело в скалярном произведении $n$ на $P$...

[Devin]

Munin в сообщении #802279 писал(а):

Что-то я засомневался. Действительно, справа варианта 0 нет.

Как предмет называется, о чём он? Может, $\times$ - это $\otimes,$ тензорное произведение? Но это странная мешанина нотаций...

Предмет называется "Тензорное исчисление в задачах механике сплошных сред". Это тензорный анализ в криволинейных координатах(хотя в декартовых координатах, я тоже задачки решал)...
Прилогаю оргинальную фотографию задания. И рассылку преподавателя, они как бы должны помогать. Но мне не помогло решить данную задачку
https://www.dropbox.com/sc/eggvzqeb0cbhwcz/EpZYXETxHb
https://www.dropbox.com/s/nwrcg7nxqw07q ... tron_8.pdf

[Munin]

Devin в сообщении #802542 писал(а):

Предмет называется "Тензорное исчисление в задачах механике сплошных сред". Это тензорный анализ в криволинейных координатах

Так-так-так-так-так, что-то начинает наклёвываться.

-- 17.12.2013 13:23:18 --

Да, Утундрий был прав, скалярное произведение записывается точкой, а вообще без символа - тензорное произведение.

[Devin]

Утундрий в сообщении #802364 писал(а):

А, знакомые каляки. Посему мыслю так: хе это векторное умножение, под интегралом стоит тензор второго рангу, правильный ответ располагается под нумером четыре, а пользоваться для его отыскания надобно бацминусцабом (только следить, чтобы сгоряча лишнего не продифференцировать).

Спасибо. Идею понял.
Только мне кажется, что когда мы переходим к объемному интегралу там имеется в виду
$\int\limits_v rot[rot[a\times(x^i\times e_i)]]$
иначе безсмыслица получается. Я правильно думаю?

[Munin]

Нет, там именно тензорное произведение наблы на выражение.

[Devin]

Ух. Достаточно сложно.
$[a\times[x\times e]]=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}a^jb^lc^m=(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{lj})a^jb^lc^m$
$\nabla[rot[a\times [x\times r]]]=\nabla[rot(x(a\cdot e)-rot(e(a\cdot x))]=\varepsilon_{pqj}\varepsilon_{ijk}(a_jx_ke_i)_{,qq}=...$
Мне кажется я это выражение записал не правильно(в компонентном виде), подскажите пожалуйста как записать правильно.