Определитель произведения матриц

[MestnyBomzh]

Здравствуйте! Прошу помощи с такой задачей: Даны две матрицы $A_{m\times n}$ и $B_{n\times m}$,причем $m>n$.Нужно доказать, что определитель матрицы $C_{mxm}$ равен нулю. Я пробовал сначала для матрицы $2\times 2$ и там всё,действительно, очевидно. Проблемы возникли с матрицей $3\times 3$, потому что явно зависимых строк уже не было...Так что до $m\times m$ я не дошел. Помогите,пожалуйста!

[AV_77]

Вы ранг матрицы $C$ оцените.

[iifat]

Как вариант: дополняем нулями справа и снизу до квадратных.

[Ms-dos4]

Можете отталкиваться от того, что столбцы $\[C\]$ - линейные комбинации столбцов $\[A\]$.
P.S. Подробнее, и более общий случай, можете посмотреть в Гантмахере, там есть т.н. формула Бине-Коши.

[MestnyBomzh]

Спасибо всем!Формула Бине-Коши спасла!

[ewert]

(Оффтоп)

MestnyBomzh в сообщении #797839 писал(а):

Формула Бине-Коши спасла!

С ума сойти! А что, континуальных интегралов оказалось недостаточно?...

[Otta]

ewert

(Оффтоп)

[Утундрий]

...а редактирование погубило. Сейчас задание читается как "Даны А и Б, доказать, что С обладает свойством D".

[Otta]

Утундрий
Но что интересно, все понятно. :) Я даже долго смотрела на задание, пытаясь понять, о чем Вы, пока не увидела.

[provincialka]

Otta Так ведь у темы есть заголовок!

[Otta]

Ну да, может и поэтому. Хотя заголовок может остаться и за скобками восприятия. Он как-то сам по себе.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Признаться, заголовка-то я и не приметил. Просто открывал наобум жёлтое, не фиксируясь и вчитывался уже в сам текст.

[MestnyBomzh]

Однако,главное,что все поняли,что я имел в виду,а это главное

[svv]

При $m>n$ столбцы матрицы $B$ будут линейно зависимы, то есть существует ненулевой вектор $x$ такой, что $Bx=0$, тогда $ABx=Cx=0$.