Методы Остроградского приближения иррациональных чисел

[maxal]

М.В.Остроградский предложил два интересных метода (алгоритма) для нахождения рациональных приближений иррациональных чисел. К сожалению, сейчас они несколько забыты в связи с поголовным использованием теории цепных дробей. Тем не менее возможно, что методы Остроградского могут привести к каким-то новым результатам.

Методы Остроградского в систематизированном виде изложены в статье

Е. Я. Ремез "О знакопеременных рядах, которые могут быть связаны с двумя алгорифмами М. В. Остроградского для приближения иррационных чисел" // Успехи мат. наук. — 1951.— Т.6, вып.5.— С.33–42.

[Руст]

Внимательно не стал читать, так как уверен, что для общих действительных чисел, эффективнее цепных дробей нельзя ничего придумать. Другое дело для специальных чисел, например алгебраических. Даже для иррациональностей степени 2 цепные дроби не совсем удобно решают задачу полностью (удобнее сведением к уравнениям Пелля). А для степеней выше 2 до сих пор задача не решена.

[maxal]

Руст писал(а):

Внимательно не стал читать, так как уверен, что для общих действительных чисел, эффективнее цепных дробей нельзя ничего придумать.

Это смотря какую задачу решать. Результаты методов Остроградского, например, могут обладать некоторыми специальными свойствами, которые в свою очередь могут оказаться полезными в решении определенных задач.
Но как бы там ни было, эти методы интересны уже сами по себе, по крайней мере мне.

[maxal]

maxal в сообщении #79498 писал(а):

М.В.Остроградский предложил два интересных метода (алгоритма) для нахождения рациональных приближений иррациональных чисел.

Похоже, что первый метод Остроградского ныне известен как разложение Пирса (Pierce expansion). Существует также его беззнаковая версия, называемая разложением Энгеля (Engel expansion).

[grizzly]

Руст в сообщении #79518 писал(а):

для общих действительных чисел, эффективнее цепных дробей нельзя ничего придумать. Другое дело для специальных чисел, например алгебраических.

Да даже если для одного только числа $\pi$ придумать специальное разложение, которое поможет вдове снизить оценку его меры иррациональности, это был бы уже шикарно эффективный метод. Всё определяется задачами, которые могут быть решены / исследованы.

Жуть как интересно!

[maxal]

На MO есть интересная задача, связанная с разложением Остроградского-Пирса:

Improving known bounds for Pierce expansions; cash prize