Линейная алгебра

[karandash_oleg]

Slow в сообщении #794024 писал(а):

Возьмите функцию от Жордановой формы, а затем домножите на $S$ слева и $ S^{-1}$ справа.

Вот так? $f(A)=f(SJS^{-1})=S\cdot f(J)\cdot S^{-1}$

Как-то немного нелепо выглядит... А как найти функцию от Жордановой формы $f(J)$?

[Slow]

В вашем случае это будет диагональная матрица у которой элементами будут функции от соответствующих элементов в жордановой форме.

[karandash_oleg]

Slow в сообщении #794035 писал(а):

В вашем случае это будет диагональная матрица у которой элементами будут функции от соответствующих элементов в жордановой форме.

Спасибо! Если такая Жорданова форма

$J=S^{-1}AS=\begin{pmatrix} -1& 0&0 \\ 0& -1 &0 \\ 0& 0&0\\ \end{pmatrix}$

То вот так получается?

$$f(J)=\sin\dfrac{\pi}{6}J=\begin{pmatrix} \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)& 0&0 \\ 0& \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) &0 \\ 0& 0&0\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -0,5& 0&0 \\ 0& -0,5 &0 \\ 0& 0&0\\ \end{pmatrix}$$

??

-- 28.11.2013, 23:44 --

А это -- верно?

karandash_oleg в сообщении #794026 писал(а):

Вот так? $f(A)=f(SJS^{-1})=S\cdot f(J)\cdot S^{-1}$

-- 28.11.2013, 23:44 --

Slow в сообщении #794035 писал(а):

В вашем случае это будет диагональная матрица у которой элементами будут функции от соответствующих элементов в жордановой форме.

Только в этом случае? А в каких еще случаях это применимо?

[mihailm]

Так.
Верно, осталось только все перемножить и получится ответ.
Других общих случаев когда функция от матрицы равна матрице с соответствующими элементами нет.

[karandash_oleg]

mihailm в сообщении #794101 писал(а):

Так.
Верно, осталось только все перемножить и получится ответ.
Других общих случаев когда функция от матрицы равна матрице с соответствующими элементами нет.

Спасибо! А для жордановой матрицы этот трюк (функция от матрицы равна матрице с соответствующими элементами) проходит всегда? И для любой квадратной матрицы такая формула работает? $f(A)=f(SJS^{-1})=S\cdot f(J)\cdot S^{-1}$

[Otta]

Не все функции раскладываются в ряд Тейлора (так, что, грубо говоря, функция представлена в виде бесконечной линейной комбинации степеней). Не все матрицы имеют диагональную жорданову форму.

Вам непонятно, что откуда берется, только оттого, что Вы писали решение под диктовку. Если бы Вы решали сами, было бы, мне кажется, гораздо понятнее.

Посчитайте:

$e^A$, если
1) $A=\begin{pmatrix}a&0\\0&b\\\end{pmatrix}$, честно, раскладывая в ряд и считая степени, и суммируя.

2) Попробуйте сделать то же для нормальной жордановой формы
$A=\begin{pmatrix}a&1\\0&a\\\end{pmatrix}.$
и почувствуйте разницу.

3) Докажите, что формула $f(A)=f(SJS^{-1})=S\cdot f(J)\cdot S^{-1}$ действительно работает всегда, когда $f$ представима в виде суммы своего ряда Тейлора. Это совсем несложно. Другое дело, что не всегда в ней есть толк: проблемы могут возникнуть при вычислении $f(J)$. (см. (1) и (2)).

[karandash_oleg]

Otta в сообщении #794133 писал(а):

Не все функции раскладываются в ряд Тейлора (так, что, грубо говоря, функция представлена в виде бесконечной линейной комбинации степеней). Не все матрицы имеют диагональную жорданову форму.

Вам непонятно, что откуда берется, только оттого, что Вы писали решение под диктовку. Если бы Вы решали сами, было бы, мне кажется, гораздо понятнее.

Посчитайте:

$e^A$, если
1) $A=\begin{pmatrix}a&0\\0&b\\\end{pmatrix}$, честно, раскладывая в ряд и считая степени, и суммируя.

2) Попробуйте сделать то же для нормальной жордановой формы
$A=\begin{pmatrix}a&1\\0&a\\\end{pmatrix}.$
и почувствуйте разницу.

3) Докажите, что формула $f(A)=f(SJS^{-1})=S\cdot f(J)\cdot S^{-1}$ действительно работает всегда, когда $f$ представима в виде суммы своего ряда Тейлора. Это совсем несложно. Другое дело, что не всегда в ней есть толк: проблемы могут возникнуть при вычислении $f(J)$. (см. (1) и (2)).

Спасибо!

1) $A=\begin{pmatrix}a&0\\0&b\\\end{pmatrix}$

$A^2=\begin{pmatrix}a^2&0\\0&b^2\\\end{pmatrix}$

$A^3=\begin{pmatrix}a^3&0\\0&b^3\\\end{pmatrix}$
.......

$A^n=\begin{pmatrix}a^n&0\\0&b^n\\\end{pmatrix}$

Имеется ввиду вот так раскладывать?

$e^A=E+A+\dfrac{A^2}{2!}+....+\dfrac{A^n}{n!}+...$

$e^A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a&0\\0&b\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{a^2}{2!}&0\\0&\frac{b^2}{2!}\\\end{pmatrix}+....+\begin{pmatrix}\frac{a^n}{n!}&0\\0&\frac{b^n}{n!}\\\end{pmatrix}+...=\begin{pmatrix}e^a&0\\0&e^b\\\end{pmatrix}$

2) $A=\begin{pmatrix}a&1\\0&a\\\end{pmatrix}.$

$A^2=\begin{pmatrix}a^2&2a\\0&a^2\\\end{pmatrix}.$

.....

$A^n=\begin{pmatrix}a^n&na^{n-1}\\0&a^n\\\end{pmatrix}.$

$e^A=E+A+\dfrac{A^2}{2!}+....+\dfrac{A^n}{n!}+...$

$e^A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a&1\\0&b\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{a^2}{2!}&\frac{2a}{2!}\\0&\frac{b^2}{2!}\\\end{pmatrix}+....+\begin{pmatrix}\frac{a^n}{n!}&\frac{na^{n-1}}{n!}\\\0&\frac{b^n}{n!}\\\end{pmatrix}+...=\begin{pmatrix}e^a&e^a\\0&e^b\\\end{pmatrix}$

3) Пока что даже не представляю -- с чего начать док-во...

[Otta]

karandash_oleg в сообщении #794157 писал(а):

Имеется ввиду вот так раскладывать?

Так, да.
1) верно, 2) откуда $b$ под конец. Его не было.

3) А не надо представлять :). Подставьте. Посчитайте степени. Сложите. Все как раньше.

[karandash_oleg]

Otta в сообщении #794234 писал(а):

karandash_oleg в сообщении #794157 писал(а):

Имеется ввиду вот так раскладывать?

Так, да.
1) верно, 2) откуда $b$ под конец. Его не было.

3) А не надо представлять :). Подставьте. Посчитайте степени. Сложите. Все как раньше.

А что подставлять -- формулу в общем виде?

[Otta]

Ну да. Написали ряд Маклорена в общем виде. Необязательно с "правильными" коэффициентами, достаточно произвольных. Степенной ряд, если сходится на прямой (комплексной плоскости) к функции, автоматически будет ее рядом Тейлора. Это легко проверить. Вот и проверьте заодно. :)

Подставили матрицу. Будет ряд из степеней матрицы. Жорданова форма нужна как раз чтобы легче эти степени считать. Посчитайте - произвольную степень. Ну и т.д. В общем, все в лоб.

Тут есть нюансы, разумеется, но для первичного понимания вполне достаточно.