Помогите разобраться с полем GF(9)

[Dwallin]

Добрый вечер уважаемые форумчане! Задача следующая:
Построить таблицу Кэли по умножению поля $GF(9)$, реализованного как кольцо многочленов по модулю неприводимого многочлена, найденного в 1.
В качестве неприводимого многочлена можно взять $x^2+1$ и тут же возникает вопрос, какие элементы будут в этом самом поле $GF(9)$?

Deggial: формулы поправил. Все формулы и термы оформляйте $\TeX$ом.

[Someone]

А какие элементы в $GF(3)$? Там есть $0$, $1$ (как во всяком поле). Должен быть элемент $1+1=2$, а $2+1=0$.
Пусть $i$ — корень многочлена $x^2+1$. Это означает, что $i^2+1=0$, поэтому $i^2=?$.
Какие ещё элементы поля $GF(9)$ можно получить?

[Dwallin]

В том то и дело что не знаю... Да и сказано же как кольцо многочленов...

[Sonic86]

Dwallin в сообщении #793077 писал(а):

В том то и дело что не знаю...

Как задается поле Галуа?

[Dwallin]

$GF(p)=[1,2,...,p-1]$, но сказано как кольцо многочленов, именно это и смущает

[Sonic86]

Dwallin в сообщении #793095 писал(а):

$GF(p)=[1,2,...,p-1]$, но сказано как кольцо многочленов, именно это и смущает

Это только для простого числа элементов. В общем случае для степени простого $GF(p^n)\cong \mathbb{Z}_p[x]/(f(x))$, где $f(x)$ - неприводимый многочлен степени $n$. $f(x)$ у Вас дан. Вот исходя из этого представления можете выбрать элементы $GF(3^2)$. Можно также брать $GF(p^n)\cong \mathbb{Z}_p[\alpha]$, где $\alpha$ - корень $f(x)$ (у нас для корня $f(x)$ есть даже специальное обозначение).

upd: исправил опечатки

[Dwallin]

Всеравно как-то не ясно...

[Joker_vD]

Берете кольцо многочленов $\mathbb Z_3[x]$. Берете идеал $(x^2+1)$. Разбиваете кольцо на классы эквивалентности по этому идеалу (должно получиться девять классов). Вводите операции сложения и умножения этих классов. Внезапно получится штука, удовлетворяющая аксиомам поля.

[VAL]

Посмотрите здесь.

[Dwallin]

То есть получатся
$0,1,2,x,x+1,x+2,2x,2x+1,2x+2$ В задании сказано:
Построить таблицу Кэли по умножению поля $GF(9)$, реализованного как кольцо многочленов по модулю неприводимого многочлена, найденного в 1. Если в качестве неприводимого брать $x^2+1$ то по модулю 2... Вот например $2\cdot2x=4x$, но ведь это ноль, если брать по модулю 2 и
$2\cdot(2x+2)=4x+4$ также есть ноль по модулю 2, а в таблице Кэли не может быть одинаковых элементов в одной строке... Или я что-то не так понял?

[Sonic86]

Dwallin в сообщении #793297 писал(а):

Если в качестве неприводимого брать $x^2+1$ то по модулю 2...

А почему по модулю 2? У поля $GF(p^n)$ характеристика равна $p$ (кстати, почему?), множество $\{0,1,...,p-1\}$ - это подполе, изоморфное $GF(p)$.

[Dwallin]

Sonic86 в сообщении #793306 писал(а):

Dwallin в сообщении #793297 писал(а):

Если в качестве неприводимого брать $x^2+1$ то по модулю 2...

А почему по модулю 2?

Так сказано в задании (по модулю неприводимого многочлена, найденного в 1)

[bot]

(Оффтоп)

Dwallin в сообщении #793311 писал(а):

Так сказано в задании (выделено жирным)

Видимо выделение недостаточно жирное, чтобы разглядеть в нём двойку.
Там есть неприводимый многочлен и единица.

[Dwallin]

bot в сообщении #793316 писал(а):

(Оффтоп)

Dwallin в сообщении #793311 писал(а):

Так сказано в задании (выделено жирным)

Видимо выделение недостаточно жирное, чтобы разглядеть в нём двойку.
Там есть неприводимый многочлен и единица.

А если подставить в $x^2+1$ единицу разве не два получится?

[bot]

(Оффтоп)

Ну это уже похоже на классическое - залезьте на шкаф и посмотрите в ту дырочку!