2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Делимость на 11
Сообщение23.11.2013, 03:18 
Сколько существует пятизначных чисел, состоящих из цифр 2, 4, 5, 6 и 9, делящихся на 11?

 
 
 
 Re: Делимость на 11
Сообщение23.11.2013, 04:18 
Аватара пользователя
Олимпиада для пятиклассников?

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение23.11.2013, 07:38 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
m_victor, приведите попытки решения, укажите конкретные затруднения.

 
 
 
 Re: Делимость на 11
Сообщение23.11.2013, 08:38 
Аватара пользователя
Вот, теперь другое дело. Признак делимости на 11 знаете?

 
 
 
 Re: Делимость на 11
Сообщение23.11.2013, 13:01 
Если разность суммы цифр на четных и нечетных позициях делится на 11, то число тоже делится на 11.

 
 
 
 Re: Делимость на 11
Сообщение23.11.2013, 13:15 
Аватара пользователя
А насколько большой может быть эта разность в данном случае? И какой четности?

 
 
 
 Re: Делимость на 11
Сообщение23.11.2013, 13:30 
Самая большая разность - $27-4=23$, а четность вроде любая. Т.е. надо проверить случаи $a_1+a_3+a_5=a_2+a_4$, $a_1+a_3+a_5=a_2+a_4+11$ и $a_1+a_3+a_5=a_2+a_4+22$? Как-то многовато перебора.

 
 
 
 Re: Делимость на 11
Сообщение23.11.2013, 13:39 
Чего-то у меня тоже ничего умнее перебора не получается :-(
Зато он у меня оптимизированный и его можно выполнить ручками:
Мы ищем число решений сравнения $a+c+e\equiv b+d\pmod{11}$ для $a,b,c,d,e\in M=\{2,4,5,6,9\}$. Вычислим число решений $v_k=N(b+d\equiv k\pmod{11}, b,d\in M)$. Тогда исходное число решений равно $\sum\limits_{e\in M}\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}_{11}}v_kv_{k-e}$ :roll:
З.Ы.: ИМХО, четность не причем.
Еще я заметил, что $6\equiv -5\pmod{11}, 9\equiv -2\pmod{11}$, но можно ли это использовать? Только если для того, чтобы в предлагаемой сумме считать только для $e=2;4;5$...

 
 
 
 Re: Делимость на 11
Сообщение23.11.2013, 13:51 
m_victor в сообщении #791693 писал(а):
Самая большая разность - $27-4=23$
Откуда взялось 27?
Цитата:
а четность вроде любая. Т.е. надо проверить случаи $a_1+a_3+a_5=a_2+a_4$, $a_1+a_3+a_5=a_2+a_4+11$ и $a_1+a_3+a_5=a_2+a_4+22$? Как-то многовато перебора.
Перебор совсем короткий. Суммы цифр, стоящих на четных и нечетных местах, должны либо отличаться на 22, либо быть равны.
Для первого случая не получается, а для второго мгновенно получаем всего один вариант разбиения цифр. Все решения получаются перестановкой цифр найденного варианта.
(И никаких сравнений с пятью переменными :wink: )

 
 
 
 Re: Делимость на 11
Сообщение23.11.2013, 13:58 
VAL в сообщении #791701 писал(а):
Суммы цифр, стоящих на четных и нечетных местах, должны либо отличаться на 22, либо быть равны.
Почему? Например, $2+4+11=9+4+4$.
Кстати, у меня вышло $282$. Проверю сейчас заодно... Если программа правильная, то $270$...
А, понял, я у себя коэффициенты перепутал, теперь и у меня $270$ тоже...

VAL в сообщении #791701 писал(а):
И никаких сравнений с пятью переменными :wink:
Мое рассуждение можно и без сравнений переписать. Вру - у меня классы вычетов нужны. А вот как без перебора - неясно.

 
 
 
 Re: Делимость на 11
Сообщение23.11.2013, 14:14 
Sonic86 в сообщении #791705 писал(а):
VAL в сообщении #791701 писал(а):
Суммы цифр, стоящих на четных и нечетных местах, должны либо отличаться на 22, либо быть равны.
Почему? Например, $2+4+11=9+4+4$.
Кстати, у меня вышло $282$. Проверю сейчас заодно... Если программа правильная, то $270$...
А, понял, я у себя коэффициенты перепутал, теперь и у меня $270$ тоже...

А-а! Так мы разные задачи решаем! :-)
Я все все цифры по разу задействовал. Внимательно перечитав условие, пришел к выводу, что это ограничение, скорее всего, придумал я сам :oops:

Зато насколько проще стала задача! :-)

 
 
 
 Re: Делимость на 11
Сообщение23.11.2013, 14:19 
Аватара пользователя
Откуда 11 и 22? Сумма трех наибольших цифр $9+6+5=20$, двух меньших - $2+4=6$, так что наибольшая разность $20-6=14$. Остаются возможности 0 и 11. Но сумма всех чисел четная, следовательно, и разность двух групп будет четная, 11 не подходит.

 
 
 
 Re: Делимость на 11
Сообщение23.11.2013, 14:20 
Аватара пользователя
Я понял условие, как VAL, хотя на двусмысленность обратил внимание. Не случайно число пятизначное, и цифр пять.

 
 
 
 Re: Делимость на 11
Сообщение23.11.2013, 14:22 
provincialka в сообщении #791715 писал(а):
Откуда 11 и 22? Сумма трех наибольших цифр $9+6+5=20$, двух меньших - $2+4=6$, так что наибольшая разность $20-6=14$. Остаются возможности 0 и 11. Но сумма всех чисел четная, следовательно, и разность двух групп будет четная, 11 не подходит.

Дело в том, что цифры могут повторяться.

Хотя интересно, что получится, если они не повторяются.

 
 
 
 Re: Делимость на 11
Сообщение23.11.2013, 15:09 
Аватара пользователя
В условии не сказано точно, повторяются или нет. Поэтому я исходила из критерия "красоты". Решение задачи для неповторяющихся цифр содержит некоторые идеи. Решение для повторяющихся - просто повторение того же несколько раз, что скучно. Тем более задача декларировалась как олимпиадная.

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group