Предел последовательности

[dimanet]

Здравствуйте!

Помогите пожалуйста с нахождением предела такой "показательно-степенной" последовательности:

$$\lim_{n\to\infty} n(\sqrt[n]{n+1}-1)$$

Как ни кручу, все равно получается неопределенность вида нуль на бесконечность.

Спасибо.

[provincialka]

Лопиталя пробовали?

(Оффтоп)

на вкус

[dimanet]

provincialka, нет, не пробовал. Да и не представляю как его здесь применить.

[provincialka]

Представить произведение в виде дроби. То есть вместо умножения на $n$ применить деление на $1/n$.
Можно вообще заменить $1/n=x,x\to 0$, хотя это не обязательно. А показательно-степенную функцию переписать как экспоненту.

[Ms-dos4]

Ещё как вариант, совсем не сложно показать, что "на бесконечности" функция $\[\sqrt[x]{x}\]$ ведёт себя как $\[1 + \frac{{\ln x}}{x}\]$. Далее нахождение предела $\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{(\sqrt[n]{{n + 1}} - 1)}}{{\frac{1}{n}}}\]$ тривиально.

[provincialka]

Ну, если ТС сумеет это показать...

[dimanet]

provincialka, спасибо, понял, как можно. Попробую и так. Но мне интересно это сделать пользуясь только свойствами пределов последовательностей.
И вроде, могу показать эквивалентность функций при стремлении $x$ к бесконечности:

$$\lim_{x\to\infty}{\frac{1+\frac{\ln x}{x}}{\sqrt[x]{x}}} = 1 $$

При том, что $\lim_{x\to\infty}{\sqrt[x]{x}} = 1$ и $\lim_{x\to\infty}{\frac{\ln x}{x}} = 0$
Правильно?

[provincialka]

Нет, этого мало. Имеется в виду, что $\sqrt[x]{x}-1$ эквивалентно $\frac{\ln x}{x}$.

[Ms-dos4]

dimanet
Это не совсем верно. Например ведь $\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{\sqrt[x]{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{\sqrt[x]{x}}} = 1\]$, т.е. мало ли какие функции имеют на бесконечности предел 1, а вам нужно показать именно поведение функции.
Собственно сделайте замену переменной $\[x = \frac{1}{t}\]$, что бы перейти от рассмотрения из бесконечности в окрестность(правую) нуля.
Можно записать $\[{x^{\frac{1}{x}}} = {t^{ - t}} = {e^{ - t\ln t}}\]$
Но мы знаем ряд Тейлора для экспоненты $\[{e^u} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{u^k}}}{{k!}}} \]$ (разложена в нуле).
Достаточно взять первые два члена $\[{e^u} = 1 + u\]$ (здесь и далее я не буду указывать, что переменная стремится к нулю справа). Тогда $\[{t^{ - t}} = 1 - t\ln t\]$, и окончательно $\[\sqrt[x]{x} = 1 + \frac{1}{x}\ln x\]$

[provincialka]

Ms-dos4, метод хорош для человека, который чувствует себя в этих формулах, как рыба в воде. Для начинающего, пожалуй легче действовать по шаблону: $\lim_{n\to\infty} n(\sqrt[n]{n+1}-1)=\lim_{x\to0} \frac{(\frac1x+1)^x-1}{x}$, дальше - Лопиталь.

-- 20.11.2013, 20:55 --

dimanet, можно доказать и без производной. Только тогда надо знать, что доказывать. Каков, по-вашему, этот предел?
Например, обозначьте исследуемую последовательность через $a_n$, тогда $n+1 = (1+\frac{a_n}{n})^n$. Как может вести себя правая часть в зависимости от поведения $a_n$?

[ewert]

dimanet в сообщении #790713 писал(а):

Помогите пожалуйста с нахождением предела такой "показательно-степенной" последовательности:

$$\lim_{n\to\infty} n(\sqrt[n]{n+1}-1)$$

$\sqrt[n]{n+1}=e^{\frac1n\ln(n+1)}$, причём известно, что показатель стремится к нулю (ну т.е. это обязано быть уже известным). Тогда дальше --тупо 2-й замечательный предел.

[provincialka]

ewert, да, ваш метод самый короткий!

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #790852 писал(а):

ваш метод самый короткий!

Он не только самый короткий, но и самый шаблонный. Как только попадается на глаза какое-нибудь не очень очевидное на первый взгляд показательное выражение, первое желание, которое обязано приходить в голову -- это переход к экспоненте. И только если вдруг не повезёт -- только тогда следует задумываться над чем-то ещё.

[provincialka]

(Оффтоп)

К экспоненте - это да, это рефлекс:

provincialka в сообщении #790738 писал(а):

А показательно-степенную функцию переписать как экспоненту.

А вот почему я дальше не увидела? Наверное потому, что сама-то на бумажке этого не проделала.

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #790857 писал(а):

Наверное потому, что сама-то на бумажке этого не проделала

Ну так я ведь тоже без бумажки. На автомате в уме переписал -- и на этом всё и закончилось.

Возможно, потому, что только что дрессировал своих студентов именно на пределы. И продолжаю дрессировать (в смысле допроверёвывать добивки к ихним ИДЗ).