простой вопрос по теории групп

[sopor]

Берем любой цикл длины n и любую транспозицию. Всегда ли они порождают симметрическую группу перестановок размера n?

[Sonic86]

Да.
Докажите это.

[VAL]

Sonic86 в сообщении #790304 писал(а):

Да.
Докажите это.

Не получится. Ибо не всегда.

[Sonic86]

VAL в сообщении #790333 писал(а):

Не получится. Ибо не всегда.

Действительно, построил простой контрпример с $n=4$ порядка $8$, прошу извинить.
Имел ввиду $\langle (12),(12...n)\rangle =S_n$, переобобщил
С другой стороны, если $p$ простое, то все-таки $\langle (ij),(12...p)\rangle \cong S_p$.
Даже так: если $G=\langle (ij),(12...n)\rangle$, то $\gcd(j-i,n)=1\Leftrightarrow G\cong S_n$.