Функциональная последовательность

[PoorFellow Tom]

$f_n(x)=\frac{1}{x^{3}}\cos\frac{x}{n}$
$E_1:(0;1) E_2:(1;+\infty)$
Собственно , как я решал:
$f(x)=\lim_{n\to \infty}f_n(x)=\lim_{n\to \infty}(\frac{1}{x^{3}}\cos\frac{x}{n})=\frac{1}{x^{3}}$
$r_n(x)=\frac{1}{x^{3}}(\cos\frac{x}{n}-1)$
Дальше я взял производную, и приравнял ее к нулю:
$\frac{\sin\frac{x}{n}}{n^{2}x^{2}}=0$ соответственно $x=\frac{n\pi}{2}$ и теперь для того чтобы найти супремум мне нужно понять точка максимума или минимума это

[provincialka]

А задачу мы сами должны ставить? Давайте угадаю: проверка на равномерную сходимость?

Вы возьмите остаток по модулю. Что станет с формулой, со знаками?
1. Производную вы взяли странно, там не такие нули.
2. Производная тут не нужна. Нужна оценка для $|r_n|$

[PoorFellow Tom]

Да, Вы правы, проверка на равномерную сходимость, производная по n взята, нужно ведь сделать оценку не зависящую от x

[provincialka]

при чем же тут $n$? Вы самый большой член последовательности ищете?

[PoorFellow Tom]

Для последующего нахождения супремума вроде бы по n и нужно брать?

[SpBTimes]

Зачем по $n$? Вы же хотите, чтобы супремум по иксам был маленьким.
Остаток, конечно, можно оценивать и через производную, но тут-то все куда проще. Превратите скобку с косинусом в синус, а дальше простейшие оценки. Вы как, поняли, на каком множестве как сходиться будет?

[PoorFellow Tom]

То есть будет вот так: $\frac{1}{x^{3}}(\cos\frac{x}{n}-1)=\frac{1}{x^{3}}(1-\sin\frac{x}{n})$ , а как можно синус дальше оценивать? Наверное на первом множестве сходимости не будет, на втором будет?

[provincialka]

это что за тригонометрические формулы?

-- 18.11.2013, 12:48 --

Во первых, вы не взяли остаток по модулю. Он у вас отрицательный, оценивать его сверху нет смысла. Во вторых перейдите к половинному углу.

А главное - правильная гипотеза. Доказывать равномерность и доказывать неравномерность - две большие разницы!

[PoorFellow Tom]

$\cos2x=2\cos^2(x)-1=1-2\sin^2(x)$ Вот такая формула

[provincialka]

Так тут двоечки-коэффициенты. Не та формула, нужно от единицы избавиться.

и вообще нарисуйте графики ваших функций при разных $n$, посмотрите, как они себя ведут на заданных промежутках. Ответ должен быть вам известен до его доказательства!

[PoorFellow Tom]

Формулу понижения угла можно использовать только если умножить функцию на -1, тогда будет
$-\frac{1}{x^{3}}\sin^{2}\frac{x}{2n}$

[provincialka]

PoorFellow Tom в сообщении #790030 писал(а):

Формулу понижения угла можно использовать только если умножить функцию на -1, тогда будет
$-\frac{1}{x^{3}}\sin^{2}\frac{x}{2n}$

Что будет? Это что у вас, $r_n$ или $|r_n|$?

[PoorFellow Tom]

Ясно, то есть по модулю как-раз минуса не будет, а дальше уже оценивать синус значит?

[provincialka]

Вы читаете, что мы вам говорим? Первое - гипотеза! Для одной гипотезы надо оценивать остаток сверху, для другой, наоборот, показывать, что он не так уж мал.

Тор-тик, тор-тик (Альф). Тьфу, ги-по-те-за, ги-по-те-за!

[PoorFellow Tom]

Я и имел в виду, про оценку сверху,а в другой снизу значит? Или вообще не оценкой?