Полилинейная форма на векторном пространстве.

[TopLalka]

Как можно показать, что если характеристика поля некоторого векторного пространства отлична от двух, то любую полилинейную форму на нём можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной?
Я могу это сделать только для билинейных форм.

[patzer2097]

TopLalka в сообщении #789257 писал(а):

Как можно показать, что если характеристика поля некоторого векторного пространства отлична от двух, то любую полилинейную форму на нём можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной?
Я могу это сделать только для билинейных форм.

Кажется, что это в общем случае неверно. Например, кососимметрический тензор $A\in\mathbb{F}^{3\times 3\times 3}$ однозначно определен значением $A_{123}$. В то же время коразмерность пространства симметрических больше $1$, т.к. тогда $A_{123}=A_{321}=A_{231}$.

[TopLalka]

Точно. Если предположить что это так, то выходит противоречие.
Пусть $V$ есть $n$-мерное векторное пространств, $(e_1,...,e_n)$ - некоторый его базис, а через $f$ обозначим $n$-линейную форму, такую что $f(v_1,...,v_n)=\lambda_{1,1}...\lambda_{n,n}$, где $\lambda_{i,j}$-$i$-ый коэффициент $j$-ого вектора в указанном базисе. По предположению$f=f_s+f_a$, и значит для любой четной подстановки $\omega$ выполняется, $\omega f=\omega f_s + \omega f_a=f_s+f_a=f$, а в указанном случае это не так.