2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Заковыристая задача про пределы
Сообщение13.11.2013, 20:47 
Аватара пользователя
Задача: Предположим, что $\lim_{x\to 0}f(x)=0; \lim_{x\to 0}\frac{f(2x)-f(x)}{x}=0$ Докажите, что $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0$
Идея была такая: разбить предел на разность пределов: $\lim_{x\to 0}\frac{f(2x)-f(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f(2x)}{x}-\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$ Предположить, что $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=a\ne 0$ тогда и $\lim_{x\to 0}\frac{f(2x)}{x}=a$Но дальше,видимо,дальше нужно доказать,что такого не может быть...помогите с решением. Правильна ли идея или нужно идти по другому пути?

 
 
 
 Re: Заковыристая задача про пределы
Сообщение13.11.2013, 20:54 
Постройте отрицание к утверждению $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0$

 
 
 
 Re: Заковыристая задача про пределы
Сообщение13.11.2013, 21:14 
Аватара пользователя
Вы разбираете только один случай - когда искомый предел существует и конечен. Его можно довести до конца, если свести первый предел ко второму. Но это не общий случай.

 
 
 
 Re: Заковыристая задача про пределы
Сообщение13.11.2013, 22:40 
Аватара пользователя
Предел $\frac{f(x)}{x}$ не равен нулю или предел не существует,так?

 
 
 
 Re: Заковыристая задача про пределы
Сообщение13.11.2013, 23:04 
post751627.html#p751627

 
 
 
 Re: Заковыристая задача про пределы
Сообщение14.11.2013, 00:03 
Если просто нужно понять, что это правда, можно полопиталить.

 
 
 
 Re: Заковыристая задача про пределы
Сообщение14.11.2013, 00:17 
Аватара пользователя
devgen в сообщении #788381 писал(а):
Если просто нужно понять, что это правда, можно полопиталить.

А вдруг $f$ недифференцируема?

 
 
 
 Re: Заковыристая задача про пределы
Сообщение14.11.2013, 00:31 
Urnwestek
Тогда беда. Но иногда бывает просто полезно понять, как вообще к утверждению относиться.
А из существования $\lim_{x\to 0}\frac{f(x+x)-f(x)}{x}$, не следует дифференцируемость в 0?

 
 
 
 Re: Заковыристая задача про пределы
Сообщение14.11.2013, 00:39 
Аватара пользователя
То, что нужно доказать, как раз и означает, что производная в 0 существует и равна 0

 
 
 
 Re: Заковыристая задача про пределы
Сообщение14.11.2013, 00:42 
Аватара пользователя
Цитата:
А из существования $\lim_{x\to 0}\frac{f(x+x)-f(x)}{x}$, не следует дифференцируемость в 0?


$$
f(x)=\begin{cases}
1,&\text{если $x \neq 0$;}\\
0,&\text{если $x = 0$;}\\
\end{cases}
$$
Правда в первом посте есть ещё условие на непрерывность, но вы то не оговорили. (:

 
 
 
 Re: Заковыристая задача про пределы
Сообщение14.11.2013, 00:49 
Urnwestek
Я имел ввиду в целом в этой задаче :P Но написал плохо :oops:

 
 
 
 Re: Заковыристая задача про пределы
Сообщение14.11.2013, 07:48 
плохие студенты даже написанное решение неспособны понять :mrgreen:

 
 
 
 Re: Заковыристая задача про пределы
Сообщение14.11.2013, 08:23 
Аватара пользователя
Осталось прочитать про Лопиталя,спасибо за идею:)

 
 
 
 Re: Заковыристая задача про пределы
Сообщение14.11.2013, 09:45 
Аватара пользователя
Лопиталь здесь вообще ни при чем. Вам же дали ссылку на решение.

 
 
 
 Re: Заковыристая задача про пределы
Сообщение14.11.2013, 22:10 
Аватара пользователя
Просто я не очень понимаю,откуда берется последовательность $\frac{x}{2^n}$

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group