Заковыристая задача про пределы

[MestnyBomzh]

Задача: Предположим, что $\lim_{x\to 0}f(x)=0; \lim_{x\to 0}\frac{f(2x)-f(x)}{x}=0$ Докажите, что $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0$
Идея была такая: разбить предел на разность пределов: $\lim_{x\to 0}\frac{f(2x)-f(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f(2x)}{x}-\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$ Предположить, что $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=a\ne 0$ тогда и $\lim_{x\to 0}\frac{f(2x)}{x}=a$Но дальше,видимо,дальше нужно доказать,что такого не может быть...помогите с решением. Правильна ли идея или нужно идти по другому пути?

[Null]

Постройте отрицание к утверждению $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0$

[provincialka]

Вы разбираете только один случай - когда искомый предел существует и конечен. Его можно довести до конца, если свести первый предел ко второму. Но это не общий случай.

[MestnyBomzh]

Предел $\frac{f(x)}{x}$ не равен нулю или предел не существует,так?

[Oleg Zubelevich]

post751627.html#p751627

[devgen]

Если просто нужно понять, что это правда, можно полопиталить.

[Urnwestek]

devgen в сообщении #788381 писал(а):

Если просто нужно понять, что это правда, можно полопиталить.

А вдруг $f$ недифференцируема?

[devgen]

Urnwestek
Тогда беда. Но иногда бывает просто полезно понять, как вообще к утверждению относиться.
А из существования $\lim_{x\to 0}\frac{f(x+x)-f(x)}{x}$, не следует дифференцируемость в 0?

[provincialka]

То, что нужно доказать, как раз и означает, что производная в 0 существует и равна 0

[Urnwestek]

Цитата:

А из существования $\lim_{x\to 0}\frac{f(x+x)-f(x)}{x}$, не следует дифференцируемость в 0?

$$ f(x)=\begin{cases} 1,&\text{если $x \neq 0$;}\\ 0,&\text{если $x = 0$;}\\ \end{cases} $$

Правда в первом посте есть ещё условие на непрерывность, но вы то не оговорили. (:

[devgen]

Urnwestek
Я имел ввиду в целом в этой задаче Но написал плохо

[Oleg Zubelevich]

плохие студенты даже написанное решение неспособны понять

[MestnyBomzh]

Осталось прочитать про Лопиталя,спасибо за идею:)

[provincialka]

Лопиталь здесь вообще ни при чем. Вам же дали ссылку на решение.

[MestnyBomzh]

Просто я не очень понимаю,откуда берется последовательность $\frac{x}{2^n}$