счетное число элементов которого ему не принадлежит
Так лучше не выражать то, что вы хотели — все элементы кольца ему принадлежат.

(А не элементы — не принадлежат, конечно.)
А пример такой: возьмём семейство из множеств

и всевозможных их конечных объединений. Если не ошибаюсь, получается кольцо.
Конечными пересечениями из его элементов не получить конечное множество

, а бесконечным

— можно, т. е. указанное кольцо не замкнуто относительно бесконечных пересечений.