Доказать, что sup A <= inf B

[Mil_OK]

Непустые множества $A$ и $B$ таковы, что $\forall a \mathcal {2} A$ и $\forall b \mathcal {2} B (a \le b). $ Докажите, что $\sup A \le \inf B$.
Если к тому же $A \bigcup B = \mathbb R, $ то $\sup A = \inf B.$

Моё доказательство:
По аксиоме верхней грани, множество $A$ ограничено сверху, а множество $B$ ограничено снизу.
Любое ограниченное сверху множество имеет $\sup$, и аналогично для ограниченного снизу множества и $\inf$
$S = \sup A, I = \inf B$

Как мне перейти от того, что $\forall a \le S, I \le \forall b к тому, что $S \le I$? Что применить?

Deggial: формулы поправил, текст $\TeX$ом оформлять не надо - цитировать неудобно потом.
Новый вопрос создавайте в виде новой темы в этом разделе не в архивной его части.

[Otta]

Mil_OK в сообщении #775936 писал(а):

По аксиоме верхней грани,

Видимо, имеется в виду аксиома полноты.
Ее и применить, аккуратно записав.
По дороге вспоминая все нужные определения: верхней грани, нижней грани, точной верхней грани, точной нижней грани.

[Mil_OK]

Otta в сообщении #775945 писал(а):

Mil_OK в сообщении #775936 писал(а):

По аксиоме верхней грани,

Видимо, имеется в виду аксиома полноты.
Ее и применить, аккуратно записав.
По дороге вспоминая все нужные определения: верхней грани, нижней грани, точной верхней грани, точной нижней грани.

Про эту аксиому я(кликабельно)

Не могли бы вы показать, не могу понять, за счет чего осуществляется переход к отношению S и I

[ewert]

Mil_OK в сообщении #775936 писал(а):

Как мне перейти от того, что $\forall a \le S, I \le \forall b к тому, что $S \le I$? Что применить?

От противного. Предположите, что соотношение перевёрнуто (тогда эти числа разделены некоторым ненулевым расстоянием). Поскольку супремум и инфимум -- это точные границы, в первом множестве есть элементы, сколь угодно близкие к его супремуму и во втором -- сколь угодно близкие к его инфимуму. И, следовательно, ...

Otta в сообщении #775945 писал(а):

Ее и применить, аккуратно записав.

Нет, аксиома полноты тут совершенно не при чём. Она нужна только для самого существования супремума и инфимума.

-- Ср окт 16, 2013 18:38:15 --

Mil_OK в сообщении #775963 писал(а):

Про эту аксиому я(кликабельно)

Это и есть аксиома полноты в одном из эквивалентных вариантов.

[Mil_OK]

ewert в сообщении #775965 писал(а):

Mil_OK в сообщении #775936 писал(а):

Как мне перейти от того, что $\forall a \le S, I \le \forall b к тому, что $S \le I$? Что применить?

От противного. Предположите, что соотношение перевёрнуто (тогда эти числа разделены некоторым ненулевым расстоянием). Поскольку супремум и инфимум -- это точные границы, в первом множестве есть элементы, сколь угодно близкие к его супремуму и во втором -- сколь угодно близкие к его инфимуму. И, следовательно, ...

Вы имеете ввиду, что тогда может возникнуть ситуация, когда a>b? Что противоречит условию

И еще откуда это берется - в первом множестве есть элементы, сколь угодно близкие к его супремуму и во втором -- сколь угодно близкие к его инфимуму ?

[provincialka]

Откуда берется? Из определения супремума
Или доказывается как его свойство (если определение другое)

[ewert]

Mil_OK в сообщении #776002 писал(а):

И еще откуда это берется - в первом множестве есть элементы, сколь угодно близкие к его супремуму и во втором -- сколь угодно близкие к его инфимуму ?

Это одно из эквивалентных определений супремума.

Там по Вашей ссылке некоторая небрежность в изложении (к сожалению, довольно традиционная). Определение, которое там приводится -- это определение наименьшей верхней грани. А сразу же за ним должна следовать простенькая, но вполне содержательная теоремка: "верхняя грань $M$ является наименьшей тогда и только тогда, когда она точная, т.е. когда $(\forall\varepsilon>0)\ \exists\alpha\in A:\ \alpha>M-\varepsilon$". Попытайтесь доказать её самостоятельно, это легко (опять же от противного).

Да, и ещё там опечатка: не $M\subset\mathbb R$, разумеется, а $M\in\mathbb R$.

[Otta]

ewert в сообщении #776022 писал(а):

Там по Вашей ссылке некоторая небрежность в изложении (к сожалению, довольно традиционная). Определение, которое там приводится -- это определение наименьшей верхней грани. А сразу же за ним должна следовать простенькая, но вполне содержательная теоремка: "верхняя грань $M$ является наименьшей тогда и только тогда, когда она точная, т.е. когда $(\forall\varepsilon>0)\ \exists\alpha\in A:\ \alpha>M-\varepsilon$". Попытайтесь доказать её самостоятельно, это легко (опять же от противного).

ewert
Собссно, почему это небрежность? Как определять. Всю жизнь для меня супремум - наименьшая из мажорант, а инфимум - наибольшая из минорант по определению. И ни разу я даже в технических целях не нуждалась в другом. Вся эта шелуха с эпсилон легко следует из такого определения, поэтому в дополнительном определении (лемме и т.д.) необходимости не возникает.

ewert в сообщении #775965 писал(а):

Нет, аксиома полноты тут совершенно не при чём.

И поскольку у меня определения такие, то и жить я привыкла по другим законам)). И как Вы понимаете, отсюда и из аксиомы полноты первое утверждение легко следует.

Так что, возможно, имеет смысл автору уточнить, какие в его курсе были определения, а то заведем чичас, как сусанины поляка.

[ewert]

Otta в сообщении #776238 писал(а):

Собссно, почему это небрежность? Как определять.

Вот именно. Следует осознавать, как конкретно определяешь. Нехорошо определять наименьшую, а называть её точной. Уж как минимум необходимо явно сформулировать, почему это одно и то же, т.е. произнести слова типа "точной она называется потому, что..."

Otta в сообщении #776238 писал(а):

И как Вы понимаете, отсюда и из аксиомы полноты первое утверждение легко следует.

Ну при чём тут полнота-то? Утверждение верно независимо от полноты.

[Otta]

ewert

ewert в сообщении #776255 писал(а):

Вот именно. Следует осознавать, как конкретно определяешь. Нехорошо определять наименьшую, а называть её точной. Уж как минимум необходимо явно сформулировать, почему это одно и то же, т.е. произнести слова типа "точной она называется потому, что..."

Хорошо-хорошо. Допустите на минуту, что единственное определение ТВГ, которое присутствует в курсе, "наименьшая из мажорант". Что не так? Что еще надо обосновывать? У меня другого-то определения и нет, не про что обосновывать, что это одно и то же.

ewert в сообщении #776255 писал(а):

Ну при чём тут полнота-то? Утверждение верно независимо от полноты.

Без полноты существования нет, сами знаете. ) Так что совсем без нее вряд ли получится. А уж коли она все равно неявно используется, почему бы ей не воспользоваться еще раз, сразу ведь все получается.

[ewert]

Otta в сообщении #776257 писал(а):

Без полноты существования нет,

А существование предполагается условиями задачи.

Otta в сообщении #776257 писал(а):

почему бы ей не воспользоваться еще раз,

Да где воспользоваться-то?... Полнота в решении ни разу не используется.

-- Чт окт 17, 2013 09:38:26 --

Otta в сообщении #776257 писал(а):

У меня другого-то определения и нет,

Опр. 1. Точка $M$ называется наименьшей верхней границей, если она не превосходит любой другой верхней границы.

Опр. 2. Верхняя граница $M$ называется точной верхней границей, если $(\forall\varepsilon>0)\ \exists\alpha\in A:\ \alpha>M-\varepsilon$.

И хотя эти две формулировки легко переводятся друг в дружку, они всё-таки существенно разные и потому обязательно должны присутствовать в курсе. Уж не важно, в каком виде: определений, или свойств, или просто замечаний -- но присутствовать в явном виде обязаны обе.

[Otta]

Ну похоже, что это из серии "о вкусах не спорят". Не вижу, зачем им обеим присутствовать, когда и одной хватает.
Например:
Будем называть точку M точной верхней гранью множества, если она не превосходит любой другой верхней грани.

Чем плохо?

ewert в сообщении #776276 писал(а):

Полнота в решении ни разу не используется.

Может ни разу не использоваться.

(Оффтоп)

ewert, Вы не сомневайтесь, я умею и так, и эдак, мне интересна Ваша, как я понимаю, принципиальная упертость. :) Вернее, мне интересно, насколько она принципиальна.

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #776280 писал(а):

Вернее, мне интересно, насколько она принципиальна.

Я вообще-то на всё согласен. Но если есть два принципиальных и при этом формально разных определения, то они оба и должны сидеть в подсознании, чтобы потом не задумываться над этим каждый раз. Но для этого необходимо их хоть как-то сформулировать.

Вот аналогичный пример -- два варианта определения нормы матрицы:

$\|A\|=\max\limits_{u\neq0}\dfrac{\|Au\|}{\|u\|};$

$\|A\|=\min\{C\colon(\forall u)\;\|Au\|\leqslant C|u\|\}.$

Оба нужны, хотя они и достаточно очевидно эквивалентны (хотя в случае с операторами чуть сложнее -- в первом варианте понадобится супремум, а во втором так минимум и останется).

[Otta]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #776285 писал(а):

то они оба и должны сидеть в подсознании, чтобы потом не задумываться над этим каждый раз.

Блин, как же ж я жила до сих пор... каждый раз не задумываясь.
А про операторы соглашусь, там норму полезно двояко определять, хоть оно и одно.

[provincialka]

(Оффтоп)

согласна с ewert. Привыкший человек и не заметит, что утверждения разные, но новичка надо к этому приучать. Разве что я не различаю названия (говорю только "точная", это короче.)