2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Квантовая система из 3-ёх частиц
Сообщение07.10.2013, 15:09 


22/01/13
43
Допустим у нас есть 3 частицы в "не запутанном" состоянии. Если запутать первую и второю, то при измерении система коллапсирует так, что у одной частицы спин будет направлен вверх у другой вниз. Допустим мы не стали измерять и оставшуюся третью частицу "спутали" с одной из первых двух, то при измерении получиться либо две частицы вверх и одна вниз, либо две вниз и одна вверх. Но что будет(измениться) если спутать ещё две частицы у которых пока по одной связи(хотя я понимаю, что они в уже находятся в одной системе и у них есть связь проходящая через частицу)?

Вопрос вдогонку: Есть система из двух частиц, если первую измерить, то вторая будет вести себя как корпускула(т.е. от неё не ожидать дифракционных волн, проводя аналогию с опытом Юнга)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая система из 3-ёх частиц
Сообщение07.10.2013, 16:43 
Заслуженный участник


25/12/11
750
Мне кажется вместо длинного ответа по этой теме, следует расписать по нормальному, но в то же время в максимально доступной и достаточно краткой форме про запутанность (да и про основы КМ тоже), а то в научпопе 99% - полный бред. Ну и положить это например в "Вопросы преподавания", не знаю... Может займусь этим сегодня вечерком или завтра, если никто не подкинет хорошей ссылки.

Пока можете почитать мои ответы в этой теме. Вряд ли это прояснит для вас многое, но даст некоторые намеки. Там кстати упоминается эксперимент с тремя спутанными частицами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая система из 3-ёх частиц
Сообщение07.10.2013, 18:12 


22/01/13
43
Буду ждать. Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая система из 3-ёх частиц
Сообщение09.10.2013, 02:29 


22/01/13
43
Почитав форум, понял что мой первый вопрос не имеет смысла так как после спутывания нельзя различить частицы соответственно частицы с единичной связью не определить. Переформулированный вопрос: будет что-то меняться после повторных спутываний? Да и вообще, у меня возникли сомнения по поводу содержания первого поста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая система из 3-ёх частиц
Сообщение15.10.2013, 23:40 
Заслуженный участник


25/12/11
750
myname
Не знаю, подойдет ли к "Вопросам преподавания"... Многое я сейчас не обсуждаю, чтобы совсем в сторону не уйти. Если интересно, спросите.

Я попробую описать основные идеи квантовой механики максимально просто (благо они очень простые) Попробуйте забыть на время про всякие частицы и прочее, мой пример будет достаточно абстрактен, в то же время применим для очень многих случаев

Половина всей квантовости заключается в том, что состояние системы описывается вектором состояния. В каком смысле вектором? Пусть наша система может находиться в двух состояниях, которые я обозначу $|\uparrow\rangle$ и $|\downarrow\rangle$. Тогда в квантовой теории в качестве состояния можно рассматривать любую линейную комбинацию этих состояний, т.е.
$$|a\rangle=\alpha|\uparrow\rangle+\beta|\downarrow\rangle$$
Где $\alpha$ и $\beta$ - произвольные комплексные числа. Ограничимся пока только такими состояниями.

Можете представить пространство как плоскость с осями $x$ и $y$. Единичные вектора вдоль осей $x$ и $y$ - аналоги наших $|\uparrow\rangle$ и $|\downarrow\rangle$, а любое состояние - вектор из начала координат в какую-то точку на плоскости. Вообще все что ниже допускает такую аналогию с поправкой, что задействованы комплексные числа.

Будем считать дальше, что $|\downarrow\rangle\neq\alpha|\uparrow\rangle$. Состояния $|\uparrow\rangle$ и $|\downarrow\rangle$ образуют базис, т.е. любое другое состояние может быть записано в виде их линейной комбинации. Также как любой вектор на плоскости может быть разложен по единичным векторам вдоль осей $x$ и $y$. Мы могли бы выбрать другой базис, например
$$|\uparrow\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|0\rangle+|1\rangle\Bigr),|\downarrow\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|0\rangle-|1\rangle\Bigr)$$

На этих векторах вводится скалярное произведение $\Bigl(|a\rangle,|b\rangle\Bigr)$ которое часто обозначается как $\langle b|a\rangle$. Как и в школьной геометрии оно симметричное и билинейное, но из-за того, что фигурируют комплексные числа в некоторых местах выскакивает комплесное сопряжение.
$$\Bigl(|a\rangle+|b\rangle,|c\rangle\Bigr)=\langle c|a\rangle+\langle c|b\rangle,\quad \Bigl(\alpha|a\rangle,|b\rangle\Bigr)=\alpha\langle b|a\rangle$$
$$\langle b|a\rangle=\Bigl(\langle a|b\rangle\Bigr)^\ast$$

Будем считать, что наш исходный базис ортонормированный
$$\langle\uparrow|\uparrow\rangle=\langle\downarrow|\downarrow\rangle=1,\quad \langle\uparrow|\downarrow\rangle=0$$

Тогда в векторе $|a\rangle$ коэффициенты разложения можно записать как скалярные произведения
$$\alpha=\langle\uparrow|a\rangle,\quad\beta=\langle\downarrow|a\rangle$$
Точно также коэффициенты разложения вектора на плоскости по единичным векторам вдоль осей (т.е. его координаты) запишутся как скалярные произведения с этими самыми векторами.

С другой стороны, мы можем разложить и по другому базису с коэффициентами
$$\tilde{\alpha}=\langle 0|a\rangle,\quad\tilde{\beta}=\langle 1|a\rangle$$

Теперь зачем все эти скалярные произведения нужны. Дело в том, что они связаны с вероятностями измерений. Допустим я меряю круговую поляризацию фотона и $|\uparrow\rangle$ обозначает левую круговую поляризацию, а $|\downarrow\rangle$ - правую. Тогда если фотон находится в состоянии $|a\rangle$ вероятность, что эксперимент даст левую спиральную поляризацию оказывается равной $\Big|\langle\uparrow|a\rangle\Big|^2$.

Состояние системы после измерения. В самом-самом простейшем случае если мы меряем результат соответствующий $|\uparrow\rangle$, то на выходе и получаем $|\uparrow\rangle$. Если же меряем результат соответствующей $|\downarrow\rangle$, то на выходе получаем $|\downarrow\rangle$. Получаем в том смысле, что последующие эксперименты дают результат, словно произошла такая обрубка. Это и есть "коллапс волновой функции".

Но если мы меряем что-то другое, например линейную поляризацию вдоль одной из осей, то состояния имеющие определенные значения этой новой наблюдаемой может соответствовать совсем другому базису, например $|0\rangle$ и $|1\rangle$. Измерение будет срабатывать тем же способом - проецировать на одно из базисных состояний с какой-то вероятностей.

Но к чему это ведет. Летит допустим состояние с левой круговой поляризацией $|\uparrow\rangle$ мы меряем его линейную поляризацию и в итоге получаю например $|0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|\uparrow\rangle+|\downarrow\rangle\Bigr)$. Но это означает, что если после этого я померяю круговую поляризацию я в половине случаев померяю левую, а в половине правую и не могу сказать заранее какую из них, т.е. такое состояние не будет иметь определенной круговой поляризации.

Точно также в КМ для частиц существуют состояния с определенными координатами и определенными импульсами, но не одновременно, что и есть источник соотношения неопределенностей. И здесь я хочу отметить следующее: при измерении не происходит того, что у нас в каком-то месте выскакивает маленький упругий шарик. У нас нет оснований считать, что квантовая система не остается квантовой всегда. Просто ее состояние рубится до некоторого другого и надо сказать, что этот процесс не описывается в рамках квантовой теории замкнутых систем. На том, почему и что творится когда мы уходим от замкнутости (которая при измерении естественно нарушается) я сейчас останавливаться не буду.

Если у нас есть две не взаимодействующие системы, например две частицы на большом расстоянии друг от друга, то их состояние можно описать с помощью так называемого тензорного произведения. Пусть первая частица точно находится в состоянии $|a\rangle_1$, а вторая в $|b\rangle_2$. Такое состояние нашей большой системы запишем как $|a\rangle_1\otimes|b\rangle_2$. Дальше скажем, что тензорное произведение билинейно, т.е.
$$(\alpha|a\rangle_1+\beta|b\rangle_1)\otimes|c\rangle_2=\alpha|a\rangle_1\otimes|c\rangle_2+\beta|b\rangle_1\otimes|c\rangle_2$$
И тут мы приходим собственно к спутанным состояниям. Дело в том, что если мы позволим линейной комбинации любых состояний быть тоже состоянием, мы допускаем и состояния вроде
$$\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|\uparrow\rangle_1\otimes|\uparrow\rangle_2+|\downarrow\rangle_1\otimes|\downarrow\rangle_2\Bigr)$$
которые не представимы в виде $|a\rangle_1\otimes|b\rangle_2$. Такие состояния и называются спутанными. В частности то, что я написал - состояние мысленного эксперимента ЭПР и реальных экспериментов по проверке неравенств Белла.

Измерения также в принципе рубят наше состояние через проекцию на подпространство с определенным значением наблюдаемой, например если есть два спутанных фотона в состоянии
$$|\uparrow\rangle_1\otimes|a\rangle_2+|\downarrow\rangle_1\otimes|b\rangle_2$$
и мы меряем поляризацию первого, то если мы меряем левую поляризацию, состояние рубится до $|\uparrow\rangle_1\otimes|a\rangle_2$ и до $|\downarrow\rangle_1\otimes|b\rangle_2$, если правую.

Так что частицы в таком состоянии нельзя описать по отдельности с помощью чистого квантового состояния. Если мы хотим забыть про вторую частицу мы сможем описать первую только с помощью так называемого смешанного состояния, для чего придется вводить матрицу плотности, чего я делать сейчас не буду. Смысл состоит в следующем - это одно из чистых состояний с какой-то вероятностью в классическом смысле (т.е. не зависящем от измерений).

Из-за вероятностного характера измерений, наблюдая за частицей по отдельности мы не видим ничего удивительного. Какая разница, спутана ли наша частица с другой, или кто-то шлет с какой-то вероятностью частицу в каком-то состояниях. Но если кто-то делает эксперименты с другой частицей, мы можем сравнить наши результаты. Что мы обнаружим это корреляции, которые невозможно описать, если считать будто за всей нашей вероятностной квантовой моделью прячется чисто классический мир с неизвестными нам скрытыми параметрами. Единственное спасение такой точки зрения - считать, что наши частицы связаны друг с другом неким сверхсветовым каналом. С другой стороны квантовая теория НЕ требует сверхсветовых сигналов и при этом прекрасно описывает эти корреляции за счет простых вещей, которые я написал выше.

-- 16.10.2013, 00:41 --

Теперь простой пример эксперимента со спутанными состояниями - квантовый ластик


Два фотона разлетаются в ЭПР-состоянии. Первый фотон прилетает на двухщелевой эксперимент. На каждой из щелей стоит фильтр, который отсекает одну из поляризаций, т.е. $|\uparrow\rangle_1$ пролетает например через левую щель, а $|\downarrow\rangle_1$ через правую, поэтому переобозначим их как $|L\rangle_1$ и $|R\rangle_1$ соответственно. Т.е. состояние
$$\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|L\rangle_1\otimes|\uparrow\rangle_2+|R\rangle_1\otimes|\downarrow\rangle_2\Bigr)$$

Формализм матрицы плотности, который я только упомянул, дает, что если забыть про вторую частицу, на первый детектор прилетает в половине случаев $|L\rangle$, а в половине $|R\rangle$. Т.е. на экране за двойной щелью у нас нет интерфенции, что и показывает эксперимент. Набираем статистику - картина складывается так, что фотон проходит через каждую из двух щелей по отдельности.

Займемся вторым фотоном. Его состояния с круговой поляризацией можно разложить на состояния с линейной поляризацией, например так
$$|\uparrow\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|+\rangle+|-\rangle\Bigr),\quad|\downarrow\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|+\rangle-|-\rangle\Bigr)$$
Тогда наше состояние представляется в виде
$$\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|L\rangle\otimes|\uparrow\rangle+|R\rangle\otimes|\downarrow\rangle\Bigr)=\frac{1}{2}\Bigl(|L\rangle+|R\rangle\Bigr)\otimes|+\rangle+\frac{1}{2}\Bigl(|L\rangle-|R\rangle\Bigr)\otimes|-\rangle$$

Теперь если мы будем набирать статистику только для тех первых фотонов, для которых второй в состоянии $|+\rangle$, мы получим интерференционную картину от $\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|L\rangle+|R\rangle\Bigr)$. Потому эксперимент называется "квантовый ластик" - в новом базисе "стирается" информация о том, через какую щель проходит фотон. С другой стороны, если набирать статистику только для тех, для которых измерения второго дают $|-\rangle$, мы получим интерференционную картину в противофазе, от $\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|L\rangle+|R\rangle\Bigr)$.

Если не знать, в какой именно поляризации получается второй фотон, эти две картины складываются вместе и получается картина от фотонов проходящих через две щели по отдельности.

-- 16.10.2013, 00:43 --

Прочитав это вы можете придумать любое спутанное состояние из трех и более частиц. Например
$\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|\uparrow\rangle_1\otimes|\uparrow\rangle_2\otimes|\uparrow\rangle_3+|\downarrow\rangle_1\otimes|\downarrow\rangle_2\otimes|\downarrow\rangle_3\Bigr)$
Как придумаете, то можно будет заняться и исходными вопросами :mrgreen:

Кстати, забыл упомянуть. Формулы для вероятностей написаны при условии, что вектор состояния нормирован на единицу, т.е. $\langle a|a\rangle=1$, грубо говоря, единичной длины. Иначе надо поделить на квадрат его нормы - она имеет смысл "полная вероятность померять хоть что-нибудь"

-- 16.10.2013, 01:06 --

Еще мелочь про квантовый ластик.

Я сказал, что в 50% случаев первый фотон прилетает в состоянии $|L\rangle$, а в 50% случаев прилетает в $|R\rangle$. Но с другой точки зрения (что получается во втором случае) в 50% случаев прилетает в $\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|L\rangle+|R\rangle\Bigr)$, а в 50% случаев прилетает в $\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(|L\rangle-|R\rangle\Bigr)$

Так вот. Это совершенно неотличимые с точки зрения наблюдений ситуации. Опять же, спасибо (или "да будет проклят", если вам хочется сверхсветовой коммуникатор) вероятностному характеру измерений

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая система из 3-ёх частиц
Сообщение13.02.2014, 16:43 


19/09/09
17
myname в сообщении #771954 писал(а):
Допустим у нас есть 3 частицы в "не запутанном" состоянии. Если запутать первую и второю, то...

тут вот пишут что-то про это ("....Вообразите два фотона в перепутанном состоянии: один летит к Алисе в Европу, а второй к Бобу в Австралию. Кроме того, у Алисы есть свой (третий) фотон, находящийся в своём состоянии и Алиса хочет подарить его Бобу, не отправляя. ... Американский ученый Сет Ллойд сотоварищи.. показали, что возможна такая ситуация, когда фотон дошел до Боба без манипуляций с кристаллами."), правда без конкретики а чисто научпоп некий)

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая система из 3-ёх частиц
Сообщение13.02.2014, 19:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ну так и не читайте "газетуру". Это даже не научпоп, там пишущие явно ни в чём не разбираются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая система из 3-ёх частиц
Сообщение14.02.2014, 02:57 


19/09/09
17
ээ.. т.е. в чистом виде брехня? (по поводу тех "экспериментов Сет Ллойд сотоварищи")
ну, я в принципе нутром чую что что-то там не то, но... Прям так и рубить с плеча этих заслуженных(вроде) товарищей? (т.е. тема, ихняя, не заслуживает дальнейшего углубленного рассмотрения?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая система из 3-ёх частиц
Сообщение14.02.2014, 08:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Какие-то эксперименты, наверное, какой-то Ллойд ставил. Но какие - вы из "газетыру" нипочём не узнаете.

Не путайте заслуженность экспериментаторов и заслуженность журнопроституток.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая система из 3-ёх частиц
Сообщение15.02.2014, 04:20 


19/09/09
17
а. в смысле имеете в виду не "брехня", а "переврали"..
но всё равно - топигстартеру на заметку :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group