Учебники - школьный курс математики

[arseniiv]

angor6 в сообщении #770780 писал(а):

я обнаружил, что эти дети не видят ничего предосудительного в уравнении вида $\sqrt{x}=-a,$ где $a>0.$

Это ведь говорит о хорошем, что школа не все остатки разума из них вытянула. Нет ничего предосудительного числу быть нулём, множеству быть пустым, а группе состоять из одного элемента. Это торжество разума, по-моему, что мы можем в конце концов быть непредвзяты к своим построениям.

[angor6]

arseniiv
Проблема в том, что когда я предлагаю решить уравнение $\sqrt{x}=-2,$ у этих детей есть ответ: $x=4.$

[arseniiv]

Плохо. Но валидность уравнения-то зря от неправильных его решений страдает. Можно и «сложные» функции запретить дифференцировать…

[Munin]

angor6 в сообщении #770780 писал(а):

Дело в том, что когда меня просили мои знакомые позаниматься с их детьми математикой, я обнаружил, что эти дети не видят ничего предосудительного в уравнении вида $\sqrt{x}=-a,$ где $a>0.$

Ну и я не вижу в этом уравнении ничего предосудительного :-) Довольно простое уравнение, и что?

angor6 в сообщении #770780 писал(а):

И, пожалуйста, не считайте меня лохом.

Это надо понимать так, что вы разобрались? Если так, я рад.

angor6 в сообщении #770809 писал(а):

Проблема в том, что когда я предлагаю решить уравнение $\sqrt{x}=-2,$ у этих детей есть ответ: $x=4.$

Разве не достаточно им один раз подробно объяснить ошибку? В любом случае, здесь нельзя говорить, что уравнение неправильно записано.

[angor6]

Munin

(Оффтоп)

Что ж, утверждая, что уравнение неправильно записано, я действительно неправильно выразился. Меня удивило, что когда обсуждался вопрос о нахождении ОДЗ выражения, как пример было предложено provincialk'ой это уравнение, которое решения не имеет, но выражение, стоящее в его левой части, свою ОДЗ имеет...

[Pineapple]

А не равносильными могут оказаться преобразования, если домножить, разделить или возвести в квадрат обе части уравнения? А если просто переносить слагаемые, то корни и ОДЗ не потеряются. Так?

[Aritaborian]

Pineapple в сообщении #770858 писал(а):

А если просто переносить слагаемые, то корни и ОДЗ не потеряются. Так?

Так.

angor6 в сообщении #770839 писал(а):

Меня удивило, что когда обсуждался вопрос о нахождении ОДЗ выражения, как пример было предложено provincialk'ой это уравнение, которое решения не имеет, но выражение, стоящее в его левой части, свою ОДЗ имеет...

И что здесь удивительного?

[Munin]

Pineapple в сообщении #770858 писал(а):

А не равносильными могут оказаться преобразования, если домножить, разделить или возвести в квадрат обе части уравнения?

По сути, не только эти операции.

Домножить - вы получаете ещё корни ($g(x)=0$).
Разделить - вы теряете корни ($g(x)=0$).
Возвести в квадрат - вы получаете ещё корни ($f_1(x)=-f_2(x)\ne 0$).
Извлечь квадратный корень - вы теряете корни ($f_1(x)=f_2(x)<0$).
Взять от обеих частей какую-то функцию (например, экспоненту, логарифм) - вы получаете ещё корни там, где функция совпадает для разных значений аргумента, и теряете корни там, где аргумент не входит в ОДЗ функции.

Pineapple в сообщении #770858 писал(а):

А если просто переносить слагаемые, то корни и ОДЗ не потеряются. Так?

Да, но ограничиваясь только такими действиями, многих уравнений не решишь.

[Pineapple]

Munin, спасибо за помощь.

[BTH]

Pineapple, если времени у вас много, то по школьному курсу алгебры могу порекомендовать следующие книги.

Мордкович А. Г., Николаев Н. П. "Алгебра. 7 класс", "Алгебра. 8 класс", "Алгебра. 9 класс". Это учебники для классов с повышенным уровнем мат. подготовки.
Мордкович А. Г., Семёнов П. В. "Алгебра и начала математического анализа. 10 класс (профильный уровень)", "Алгебра и начала математического анализа. 11 класс (профильный уровень)".
Заметьте, что у Мордковича есть также учебники по алгебре для обычных классов. Он там единственный автор (вроде бы).

Учебник для каждого класса состоит из двух книг: теоретическая часть и задачник. Всё это можно скачать. Проблема в том, что скачать можно издания 2009-го года, а в задачниках этого года много опечаток (хотя для задачников 10 и 11 классов можно скачать список опечаток на сайте Мордковича). Так что, если будете заниматься по его книгам, то либо читайте только теорию и пользуйтесь своим задачником, либо покупайте отдельно задачники (вроде их продают отдельно) 2013 года издания, за 4 года множество опечаток убрали, а задачники для 8-го и 9-го классов вообще сильно изменены.

По-моему мнению, это лучшие школьные учебники по алгебре на русском языке.

[provincialka]

angor6 в сообщении #770839 писал(а):

Munin

(Оффтоп)

Что ж, утверждая, что уравнение неправильно записано, я действительно неправильно выразился. Меня удивило, что когда обсуждался вопрос о нахождении ОДЗ выражения, как пример было предложено provincialk'ой это уравнение, которое решения не имеет, но выражение, стоящее в его левой части, свою ОДЗ имеет...

Так в том и "фишка". Зачем искать ОДЗ, если решений явно нет? Это была реплика на совет "обязательно искать ОДЗ".

[Pineapple]

provincialka
Ну это понятно, что если решений нет, то не нужно искать.
А если например в самом начале найти ОДЗ, то можно не боятся ее потерять во время преобразований? И можно ведь не искать ОДЗ, а потом после решения уравнения проверять все корни подстановкой?

[provincialka]

Когда как. Если у вас корень получился 1, его подставить легко. А если будет $\sqrt{1+\sqrt7}$? А особенно важно ОДЗ при решении неравенств.

[Pineapple]

А где можно почитать как решать уравнения где нужно найти сумму или произведение корней?

[Munin]

Pineapple в сообщении #771103 писал(а):

А если например в самом начале найти ОДЗ, то можно не боятся ее потерять во время преобразований?

Нет, преобразования могут быть очень сложными, одни наслаиваются на другие. Если вы делаете цепочку преобразований, то может возникнуть корень, который подходит по изначальной ОДЗ, но на самом деле, противоречит какой-то ОДЗ в середине выкладок, возник там как "лишний" корень.

И вообще, проверка по ОДЗ не исчерпывающая. Допустим, у вас простое уравнение $2x+6=3x-1.$ ОДЗ - вся числовая ось. И вот, вы это уравнение возводите в квадрат. У вас появляются лишние корни, но ОДЗ они не противоречат. (Прошу прощения за наивный и бессмысленный пример, но в более сложных ситуациях такое случается.)