Совместное распределение

[Joe Black]

Здравствуйте, помогите пожалуйста решить следующую задачу:
Даны две случайные величины $X,Y$ равномерно распределённые на отрезке $[ 0,1 ]$. Найти совместное распределение их минимума и максимума
Пусть $U=min\{X,Y\}$ и $V=max\{X,Y\}$
Отдельно распределения максимума и минимума я нашёл

[ИСН]

Без слова "независимые" по отношению к X и Y - ответ может быть каким угодно.
А так смотрите. Берём единичный квадрат. Начинаем тупо равномерно посыпать его песком. За каждую песчинку, упавшую на этот квадрат - кладём соответствующую ей песчинку на квадрат (U,V). Что получится?

[Joe Black]

единичный квадрат представил, а что такое квадрат $(U,V)$ ?

[provincialka]

Joe Black в сообщении #769492 писал(а):

единичный квадрат представил, а что такое квадрат $(U,V)$ ?

Квадрат в плоскости переменных $(U,V)$.
Для каждой точки $(x,y)$ найдите соответствующую точку $(\min(x,y),\max(x,y))$ в плоскости переменных $(U,V)$

[Joe Black]

в переменных (U,V) тоже будет единичный квадрат

[provincialka]

Не совсем так. Может ли быть, например, $\min(x,y)=0,7;\max(x,y)=0,4 $?

[Joe Black]

Нет, вроде всё отобразится в прямоугольный треугольник с координатами $(0,0),(0,1),(1,1)$

[provincialka]

Ага. А плотность на нем какая будет?

[Joe Black]

Похоже что равномерная

[provincialka]

Ну. И чему равна?

-- 30.09.2013, 22:32 --

(Оффтоп)

ИСН, хорошая идея, а то я уж собралась функцию распределения искать

[Joe Black]

Обратно пропорц площади треуг, следовательно $2$

-- 30.09.2013, 22:40 --

А чтобы найти теперь распределение надо взять двойной интеграл от плотности от нижней границы до неопределённой верхней?

[ИСН]

Да не надо ничего брать, так оставьте.

[--mS--]

Ну может он хочет не плотность, а функцию совместного распределения получить Тогда придётся интегрировать, что будет гораздо неприятнее, чем взять и выписать её сразу же.

Очень изящный трюк. Но равномерность совместного распределения минимума и максимума в этом треугольнике доказывать и доказывать. И на случай более чем двух величин никак не переносится. Я бы всё же советовала искать функцию совместного распределения чисто по определению, связав события $\{U < x, V<y\}$ и $\{U \geqslant x, V<y\}$ ($x<y$).

[Joe Black]

Второе событие это квадрат со стороной $y-x$ внутри единичного квадрата посередине

-- 01.10.2013, 10:18 --

Первое событие это квадрат с вершиной в $(0,0)$ и стороной $x$

[Joe Black]

Извините, неверно.
вероятность первого события $P(U<u,V<v)= 2v-u$, вероятность второго $P(U>u,V<v)=(v-u)^2$