Теорема о влюблённых последовательностях

[Dave]

Докажите следующую теорему.

Теорема ("О влюблённых последовательностях". Dave, 2013.)
У двух последовательностей, находящихся внутри некоторого шара в $\mathbb R^3$, множества предельных точек совпадают.

(Иллюстрация)

Вложение:

ACouple.jpg

Слово "последовательности" здесь - синоним слова "личности".
"Предельные точки" - "жизненные интересы" .

Докажите, что можно перенумеровать одну из них так, чтобы они неограниченно сближались, т.е. чтобы расстояние между соответствующими членами этих последовательностей стремилось к нулю.

[Oleg Zubelevich]

Dave в сообщении #761221 писал(а):

Теорема ("О влюблённых последовательностях". Dave, 2013.)
У двух последовательностей, находящихся внутри некоторого шара в $\mathbb R^3$, множества предельных точек совпадают.

берем две разные точки в шаре $x\ne y$ и последовательности $x_n\equiv x,\quad y_n\equiv y$ это как ничo?

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #761361 писал(а):

это как ничo?

это ничо -- последовательность не есть множество

[nnosipov]

Oleg Zubelevich в сообщении #761361 писал(а):

берем две разные точки в шаре $x\ne y$ и последовательности $x_n\equiv x,\quad y_n\equiv y$ это как ничo?

Вот и я так подумал. Не сразу дошло, что на этом формулировка теоремы не заканчивается.

Dave, Вы неудачно разместили вставку, так отформатированный текст вводит в заблуждение.

[ewert]

nnosipov в сообщении #761370 писал(а):

Не сразу дошло, что на этом формулировка теоремы не заканчивается.

В этом сомневаться как-то трудно даже на первый взгляд, и Oleg Zubelevich
засомневался явно в совершенно другом.

[nnosipov]

ewert в сообщении #761373 писал(а):

В этом сомневаться как-то трудно даже на первый взгляд

Это Вам. А я мне ровно так и показалось. Текст после вставки я счёл неким комментарием, а не частью теоремы.

[gris]

А разве совпадение множеств не есть совпадение их элементов? То есть имеется в виду, что все предельные точки одной последовательности являются предельными точками другой, хотя бы они заполняют весь шар целиком. Я было подумал, что от противного можно доказать для отрезка хотя бы. Типа, в бесконечном ограниченном множестве найдётся предельная точка, а потом подумал, что в шаре прячется какая-то ловушка. Никак не пойму, почему приведённый пример не соответствует первой части, ведь предельные точки разные?

[nnosipov]

gris в сообщении #761375 писал(а):

Никак не пойму, почему приведённый пример не соответствует первой части, ведь предельные точки разные?

gris, приведите формулировку теоремы (как Вы её поняли).

[ewert]

gris в сообщении #761375 писал(а):

Никак не пойму, почему приведённый пример не соответствует первой части, ведь предельные точки разные?

Потому и не соответствует, что разные. Вот если подразумевать, что в примере вообще нет предельных точек -- тогда да, соответствовал бы. Но это -- путаница в терминологии.

[gris]

В шаре есть две последовательности $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$. Множества предельных точек $X$ и $Y$ совпадают в самом обыкновенном смысле слова. Тогда можно перенумеровать первую последовательность так, чтобы $\rho (x_n, y_n)\to 0$. Я Это даже доказал для одной и двух предельных точек . У меня сомнение было насчёт несчётного случая предельных точек.

ewert, а как не может быть предельных точек?

А, понял, там множества пустые. Но я полагал, что в постоянной последовательности именно эта константа и есть предельная точка.

Да, каюсь, я посчитал, что предельной точкой последовательности можно назвать её частный (вернее, частичный, хотя язык так и тянет говорить частный) предел. Но, вроде бы, в учебниках такого нет, хотя это мне кажется логичным

[nnosipov]

gris в сообщении #761380 писал(а):

В шаре есть две последовательности $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$. Множества предельных точек $X$ и $Y$ совпадают в самом обыкновенном смысле слова. Тогда можно перенумеровать первую последовательность так, чтобы $\rho (x_n, y_n)\to 0$.

Всё в порядке. Ваше "никак не пойму" я отнёс к неточному пониманию формулировки, ведь тот пример просто не удовлетворял условию теоремы.

-- Сб сен 07, 2013 19:42:19 --

gris в сообщении #761380 писал(а):

Да, каюсь, я посчитал, что предельной точкой последовательности можно назвать её частный предел.

А это разве не так?

[ewert]

gris в сообщении #761380 писал(а):

я посчитал, что предельной точкой последовательности можно назвать её частный предел. Но, вроде бы, в учебниках такого нет

В учебниках такое есть. Т.е. если такое словосочетание вообще употребляется, то оно означает именно это. Предельная точка последовательности и предельная точка множества -- это разные понятия.

[gris]

Вот бы было конечное число этих частичных пределов. Тогда можно и напрямую доказать, как бы конструктивно. Окружим каждую предельную (уж боюсь так называть ) точку непересекающимися $\varepsilon$окрестностями. Вне них лежит по конечному числу членов последовательностей. Ну дальше понятно как. Переставляем, добавляяем, потом эпсилон уменьшаем.
А вот если бесконечное число этих точек, то не знаю, как.

Но это доказательство относится к формулировке с моим пониманием, которое, я чувствую, совпадает с ТС-овским.

(To OlegZubelevich)

Извините, что не ответил на Ваш вопрос, так как долго размышлял, ко мне он относится или к ТС, а потом Вы его стёрли. Но на всякий случай решил отписаться к своём сообщении. Проблема, я так понял, чисто терминологическая, хотя, возможно, я просто не вижу чего-то глубокого. Может быть, ТС зашифровал нечто в подписи к картинке? Надеюсь, по прибытии он прояснит ситуацию.
С уважением, gris.

[Dave]

gris в сообщении #761375 писал(а):

А разве совпадение множеств не есть совпадение их элементов?

Множество полностью определяется своими элементами. Это, насколько я понимаю, заложено в основаниях математики. Бывают упорядоченные множества, множества с повторяющимися элементами и т.д., но всё это оговаривается отдельно, здесь же этого нет.

Предельной точкой последовательности называется предел любой её сходящейся подпоследовательности. Эквивалентное (по крайней мере в $\mathbb R^n$) определение: в любой окрестности (не проколотой!) этой точки находится бесконечное число членов последовательности.
Предельная точка последовательности, как справедливо заметил ewert, - не то же самое, что предельная точка множества значений последовательности, т.к. в последнем случае берутся именно проколотые окрестности. Пример с последовательностью-константой как раз и показывает различия между этими понятиями. Для $x_n\equiv x$ $x$ - предельная точка, для одноэлементного множества, конечно же, нет. В задаче подразумевается первый случай, я думал, что это не вызовет недоразумений, ибо в условии нигде не говорится "предельная точка множества". Предельных точек у рассматриваемых последовательностей может быть сколько угодно, вплоть до всюду плотности их значений в шаре.

nnosipov в сообщении #761370 писал(а):

Dave, Вы неудачно разместили вставку, так отформатированный текст вводит в заблуждение.

gris в сообщении #761402 писал(а):

(To OlegZubelevich)

Может быть, ТС зашифровал нечто в подписи к картинке?

Не обращайте внимания на врезку вообще, если она Вас смущает.

[gris]

Хочется прямого доказательства. Если бы доказать, что любое множество наших предельных точек можно накрыть конечной системой непересекающихся множеств, диаметр каждого из которых не превосходит произвольного эпсилон, да так, чтобы каждая точка входила в множество системы вместе с бесконечным числом членов каждой последовательности... А потом легко устроить перестановку, беря парами из каждого множества системы предыдущего уровня, чтобы вне системы текущего уровня ничего не осталось. Число пар будет конечным. Конечно, проще было бы переставлять обе последовательности, но можно просто выравнивать по максимальному номеру у второй. Но с разрезанием шара никак не получается.