SEEMOUS 2013

[sopor]

Athens, Greece. Время на задачи - 5 часов.

Задача 1. Найдите все непрерывные функции $f:[1, 8]\rightarrow\mathbb R$ такие что $\int\limits_1^2 f^2 (t^3)dt+2\int\limits_1^2 f (t^3)dt=\frac {2}{3}\int\limits_1^8 f (t)dt-\int\limits_1^2 (t^2-1)^2dt$

Задача 2. Пусть $M, N$ - 2 матрицы размера 2 на 2 с комплексными коэффициентами, такие что $M^2=N^2=0, MN+NM=E$. Докажите, что существует обратимая матрица с комплексными коэффициентами $A$, такая, что $M=A E_{1, 2} A^{-1}, N=A E_{2, 1} A^{-1}$.$E_{a, b}$ - это матрица, все элементы которой нули, кроме одного : $a$ это номер строки этого места, $b$ - номер столбца.

Задача 3. Найдите $\max\int\limits_0^1|f'(x)|^2\frac {|f (x)|}{\sqrt {x}}dx$ по всем непрерывным дифференцируемым функциям $f:[0,1]\rightarrow\mathbb R$, таким, что $f (0)=0$ и $\int\limits_0^1|f'(x)|^2dx\leqslant1$.

Задача 4. Пусть $A$ - матрица размера 2 на 2 с рациональными коэффициентами. Пусть существует натуральное $n$, не равное нулю, такое, что $A^n=-E$. Докажите, что либо $A^2=-E$, либо $A^3=-E$.

[nnosipov]

sopor в сообщении #757567 писал(а):

Задача 4. Пусть $A$ - матрица размера 2 на 2 с рациональными коэффициентами. Пусть существует натуральное $n$, не равное нулю, такое, что $A^n=-E$. Докажите, что либо $A^2=-E$, либо $A^3=-E$.

Понятно, что $A$ должна приводиться к диагональному виду. Но тогда собственные значения $A$ должны быть корнями из единицы. С другой стороны, они должны быть рациональными или квадратичными иррациональностями. Значит, собственные значения --- это корни из единицы степени $2$, $3$, $4$ или $6$. Отсюда и получается утверждение задачи.

Такой способ рассуждения опирается на тот факт, что степень расширения $\mathbb{Q}(\zeta_d)/\mathbb{Q}$ равна $\varphi(d)$ (здесь $\zeta_d$ --- первообразный корень из единицы степени $d$).

[sopor]

Скажите пожалуйста, как решать задачу 3? Уже не первый раз встречаю такую задачу, где надо найти максимум по всем функциям, но не знаю, что тут можно сделать.

[Dave]

sopor в сообщении #759042 писал(а):

Скажите пожалуйста, как решать задачу 3?

См. здесь.

sopor в сообщении #759042 писал(а):

Уже не первый раз встречаю такую задачу, где надо найти максимум по всем функциям, но не знаю, что тут можно сделать.

Раздел математики, изучающий такие задачи, называется вариационное исчисление.