централизаторы и сопряжения

[spyphy]

Помогите решить задачку. Не могу осилить. Но она используется в док-ве последующей теоремы, поэтому нельзя пропускать.
Условие:
Пусть $H - $ нормальная подгруппа в $G$ простого индекса, пусть $x \in H$ и $C_H(x) < C_G(x)$. Тогда если элемент $y \in H$ сопряжен с $x$ в $G$, то $y$ сопряжен с $x$ в $H$.

[JMH]

А что такое $C$?

[AV_77]

Надо использовать тот факт, что у факторгруппы $G / H$ любой неединичный элемент является порождающим и условие, что централизатор $x$ в $H$ является собственной подгруппой централизатора в $G$.

[spyphy]

JMH в сообщении #756309 писал(а):

А что такое $C$?

централизатор (в названии темы указал)

AV_77 в сообщении #756319 писал(а):

Надо использовать тот факт, что у факторгруппы $G / H$ любой неединичный элемент является порождающим и условие, что централизатор $x$ в $H$ является собственной подгруппой централизатора в $G$.

это почти то же, что в условии задачи написано. А что делать с этой фактор-группой? Не могу уловать как она связана с централизаторами.

[spyphy]

а всё, кажется допер, точнее вспомнил золотое правило (если не знаешь как решать задачу, используй 1-ую теорему об изоморфизме).
Так строится гомоморфизм $f: C_G(x) \to G/H, ~ g \mapsto gH $, у которого $\ker f = C_H(x) \neq C_G(x)$, откуда $\mathrm{Im} f = G/H$, в итоге получаем $|x^G| = |x^H|$.

[JMH]

spyphy в сообщении #756364 писал(а):

JMH в сообщении #756309 писал(а):

А что такое $C$?

централизатор (в названии темы указал)

Я это предположил Просто тогда должно быть $|C_H(x)|<|C_G(x)|$

[spyphy]

JMH в сообщении #756467 писал(а):

spyphy в сообщении #756364 писал(а):

JMH в сообщении #756309 писал(а):

А что такое $C$?

централизатор (в названии темы указал)

Я это предположил Просто тогда должно быть $|C_H(x)|<|C_G(x)|$

Не обязательно. В теории групп значок $<$ имеет два значения (как минимум), смотря возле чего стоит: либо "меньше" (применительно к мощностям множеств), либо "подгруппа" (применительно к группам). В данном случае соотношения $|C_H(x)|<|C_G(x)|$ и $C_H(x)<C_G(x)$ равносильны.

[patzer2097]

spyphy в сообщении #756488 писал(а):

В теории групп значок $<$ имеет два значения (как минимум), смотря возле чего стоит: либо "меньше" (применительно к мощностям множеств), либо "подгруппа" (применительно к группам). В данном случае соотношения $|C_H(x)|<|C_G(x)|$ и $C_H(x)<C_G(x)$ равносильны.

да уж во втором случае вместо $C_H(x)<C_G(x)$ все-таки нужно писать $C_H(x)\subset C_G(x)$

[lena7]

(Оффтоп)

patzer2097
Facepalm неуместен. В теории групп действительно очень часто используют $<$ для обозначения подгруппы, оставляя $\subset$ для подмножеств.

[Deggial]

lena7 в сообщении #756519 писал(а):

В теории групп действительно очень часто используют $<$ для обозначения подгруппы, оставляя $\subset$ для подмножеств.

Заодно можно упомянуть $A \triangleleft B$ для обозначения отношения $A$ - нормальный делитель $B$.

[patzer2097]

(Оффтоп)

lena7 в сообщении #756519 писал(а):

patzer2097
Facepalm неуместен. В теории групп действительно очень часто используют $<$ для обозначения подгруппы, оставляя $\subset$ для подмножеств.

а можно ссылку на пример такого использования?

[spyphy]

patzer2097 в сообщении #756711 писал(а):

(Оффтоп)

lena7 в сообщении #756519 писал(а):

patzer2097
Facepalm неуместен. В теории групп действительно очень часто используют $<$ для обозначения подгруппы, оставляя $\subset$ для подмножеств.

а можно ссылку на пример такого использования?

(Оффтоп)

почти любой учебник по теории групп годов этак $\geq 1980$ (Каргаполов, Белоногов, Богопольский, Rotman). Вообще $<,\leq$ обычно используется там, где речь идет о какой-то алгебраической подсистеме (подгруппы, подкольца, подмодули).

[patzer2097]

(Оффтоп)

spyphy в сообщении #756719 писал(а):

почти любой учебник по теории групп годов этак $\geq 1980$ (Каргаполов, Белоногов, Богопольский, Rotman). Вообще $<,\leq$ обычно используется там, где речь идет о какой-то алгебраической подсистеме (подгруппы, подкольца, подмодули).

интересно, спасибо Вам за ссылки!!