Лемма Римана

[Alexey Rodionov]

Известно, что для $ f(x)$ абсолютно интегрируемой на $[0,1] \lim\limits_{\omega\to \infty}{\int\limits_0^1 {f(x)\sin (\omega x) }=0 $. Для какой интегрируемой не собственно и не абсолютно функции этот предел существует, но нулю не равен? А для какой не существует?

[ewert]

Alexey Rodionov в сообщении #755050 писал(а):

Для какой интегрируемой не собственно и не абсолютно функции этот предел существует, но нулю не равен?

Ну, например, для $f(x)=\frac1x$. А при чём тут абсолютность вообще - не знаю.

[Alexey Rodionov]

1/x не интегрируема на [0,1].

Знакомое мне доказательство леммы Римана предполагает абсолютную интегрируемость. Смотрите, на пример, третий том Фихтенгольца.

Вопрос задан, чтобы выяснить необходимость этого условия и пошевелить сопутствующие мелочи.

[Otta]

ewert в сообщении #755139 писал(а):

А при чём тут абсолютность вообще - не знаю.

Ну как? $f$ должна быть класса $L_1$. В частности, в этот класс не попадают функции, интегралы от которых несобственны и сходятся условно.

[Deggial]

Alexey Rodionov в сообщении #755227 писал(а):

1/x не интегрируема на [0,1].

Alexey Rodionov, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.

[Alexey Rodionov]

Еще один вопрос. Известно, что для $ f(x)$ абсолютно интегрируемой на $[0,1] \lim\limits_{\omega\to \infty}{\int\limits_0^1 {f(x)\sin (\omega x) }}=0 $. Для какой интегрируемой не собственно и не абсолютно функции этот предел равен нулю ?