Вопрос, связанный с числовой окружностью

[BENEDIKT]

Необходимо найти на числовой окружности точки с абсциссой $x<\frac{1}{2}}$

Прямая $x=\frac{1}{2}}$ пересекает окружность в точках
$\frac{\pi}{3}}$ (или $\frac{-5\pi}{3}}$) и $\frac{5\pi}{3}}$ (или$\frac{-\pi}{3}}$)
Вопрос: как записать двойное неравенство? Очевидно, что двигаться по окружности необходимо против часовой стрелки. Но как записать:
$\frac{-5\pi}{3}}+2\pi k<x<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$ или $\frac{\pi}{3}}+2\pi k<x<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$?
Аналогичные примеры в учебнике содержат оба варианта, причём без указания того, почему избрано положительное или отрицательное значение. Первый вариант мне интуитивно кажется более убедительным, т. к. учитывает максимальный диапазон значений числа $t+2\pi k$ Но что необходимо выбрать на самом деле?

[TOTAL]

BENEDIKT в сообщении #754538 писал(а):

Но что необходимо выбрать на самом деле?

Из $[0; 2\pi)$ выбирайте что надо.

[Алексей К.]

BENEDIKT в сообщении #754538 писал(а):

Необходимо найти на числовой окружности точки с абсциссой $x<\frac{1}{2}$

Я тут один не знаю, кто такая "числовая окружность"?
Из тех, которые как-то вписываются в контекст ("вписанная", например, не вписывается), знаю "действительную", "произвольную", "единичную". А "числовая" --- это которая что?

[mihailm]

(Оффтоп)

Согласно закону исключенного третьего, все есть число или нечисло. Значит, окружность либо числовая либо нечисловая, но нечисловая окружность это уж совсем, так что пусть будет числовой))

[JMH]

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #754590 писал(а):

Согласно закону исключенного третьего

Интуиционисты Вас не похвалят...

[Алексей К.]

(Оффтоп)

Я, как и (, похоже, ) BENEDIKT в этой вашей математике не особо разбираюсь. А вы тут Все (, похоже, ) выпендриваетесь. Не могли бы вы, образованные, чётко написать, без выпендрёжей, что, мол, моя претензия правомерна, или, например, наоборот, --- что любому [образованному, читающему школьные учебники, etc] очевидно, что речь идёт о ??? окружности, и что я, соответственно, недостаточно образован. А то и т?п, или г??п, или вообще д???л.

[JMH]

(Оффтоп)

Шутим же Из контекста задачи наиболее логично предположить, что имеется ввиду единичная окружность, могла быть любая другая, но тогда об этом, наверное, упоминалось бы.

-- Вт авг 13, 2013 14:04:24 --

UPD: Претензия вполне правомерна, видимо, произошла очепятка

[iifat]

Таки мало того, если уж $x$ — это в условии абсцисса, обозначать ею же в решении угол как бы не совсем кошерно. Либо $\begin{cases}-1\le x\le\frac12\\y=\pm\sqrt{1-x^2}\end{cases}$, либо обозначить угол какой-нить более подобающей буквой.

[BENEDIKT]

Прошу прощения, я допустил опечатку. Следовало написать не $\frac{-5\pi}{3}}+2\pi k<x<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$ или $\frac{\pi}{3}}+2\pi k<x<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$, а
$\frac{-5\pi}{3}}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$ или $\frac{\pi}{3}}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$

TOTAL в сообщении #754541 писал(а):

Из $[0; 2\pi)$ выбирайте что надо.

То есть верен второй вариант:
$\frac{\pi}{3}}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$?
Тогда не ясно, почему в учебнике в аналогичных примерах представлен как первый, так и второй вариант? То есть как $\frac{-5\pi}{3}}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$, так и $\frac{\pi}{3}}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$?

[Otta]

BENEDIKT в сообщении #754764 писал(а):

$\frac{-5\pi}{3}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{3}+2\pi k$

Вы, похоже, не представляете себе, что означает эта запись по существу.
А она означает, что множество решений неравенства $\cos t< 1/2$ есть (якобы) объединение всех таких интервалов, то есть
$\cup_{k=-\infty}^{+\infty}\left(\frac{-5\pi}{3}+2\pi k, \frac{5\pi}{3}+2\pi k\right).$
Что это значит? Это значит, что любая точка из каждого такого интервала будет решением (и других нет).
А теперь возьмите любой из них. Например, при $k=0$ получается интервал $\left(\frac{-5\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right)$. Нарисуйте его на окружности. Что Вы видите? будет?

[TOTAL]

BENEDIKT в сообщении #754764 писал(а):

Прошу прощения, я допустил опечатку. Следовало написать не $\frac{-5\pi}{3}}+2\pi k<x<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$ или $\frac{\pi}{3}}+2\pi k<x<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$, а
$\frac{-5\pi}{3}}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$ или $\frac{\pi}{3}}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$

TOTAL в сообщении #754541 писал(а):

Из $[0; 2\pi)$ выбирайте что надо.

То есть верен второй вариант:
$\frac{\pi}{3}}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$?

Зачем добавлять $2\pi k$? Ведь это все равно что на вопрос "сколько будет дважды два" отвечать "четыре, четыре, четыре, четыре, ..."

[BENEDIKT]

TOTAL в сообщении #754854 писал(а):

Зачем добавлять $2\pi k$?

Думал, так будет правильно, ведь каждое число $t$ на окружности соответствует всем числам вида $t+2\pi k$...

Otta в сообщении #754772 писал(а):

А теперь возьмите любой из них. Например, при $k=0$ получается интервал $\left(\frac{-5\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right)$. Нарисуйте его на окружности. Что Вы видите?

Если я правильно понял, моя ошибка в том, что интервал $(\frac{-5\pi}{3}, \frac{5\pi}{3})$ включает в себя в том числе луч
$(\frac{-5\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$, что неверно? Т. о. верен второй вариант: t принадлежит интервалу $(\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3})$?

Непонятно, что имел в виду автор учебника, когда писал, например, следующее.
Пример. Найти на числовой окружности точки с ординатой $y<\frac{1}{2}}$ и записать, каким числам t они соответствуют.
Решение. Прямая $y=\frac{1}{2}}$ пересекает числовую окружность в точках $\frac{-7\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{6}$
Таким образом, $\frac{-7\pi}{6}+2\pi k<t<\frac{\pi}{6}+2\pi k$

[Aritaborian]

Непонятно, что имел в виду автор учебника, когда употреблял термин «числовая окружность». Это сейчас на самом деле так в школьных учебниках пишут?

[Otta]

BENEDIKT в сообщении #754857 писал(а):

Если я правильно понял, моя ошибка в том, что интервал $(\frac{-5\pi}{3}, \frac{5\pi}{3})$ включает в себя в том числе луч

Вы его нарисовали? Точно-точно? Или на ходу пытаетесь сообразить?

Aritaborian в сообщении #754864 писал(а):

Непонятно, что имел в виду автор учебника, когда употреблял термин «числовая окружность». Это сейчас на самом деле так в школьных учебниках пишут?

Ни разу не попадалось, хотя приходилось читать разные учебники.

[TOTAL]

BENEDIKT в сообщении #754857 писал(а):

TOTAL в сообщении #754854 писал(а):

Зачем добавлять $2\pi k$?

Думал, так будет правильно, ведь каждое число $t$ на окружности соответствует всем числам вида $t+2\pi k$...

Зачем одну и ту же точку окружности называть несколько раз?