2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Вопрос, связанный с числовой окружностью
Сообщение13.08.2013, 20:02 
Необходимо найти на числовой окружности точки с абсциссой $x<\frac{1}{2}}$

Прямая $x=\frac{1}{2}}$ пересекает окружность в точках
$\frac{\pi}{3}}$ (или $\frac{-5\pi}{3}}$) и $\frac{5\pi}{3}}$ (или$\frac{-\pi}{3}}$)
Вопрос: как записать двойное неравенство? Очевидно, что двигаться по окружности необходимо против часовой стрелки. Но как записать:
$\frac{-5\pi}{3}}+2\pi k<x<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$ или $\frac{\pi}{3}}+2\pi k<x<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$?
Аналогичные примеры в учебнике содержат оба варианта, причём без указания того, почему избрано положительное или отрицательное значение. Первый вариант мне интуитивно кажется более убедительным, т. к. учитывает максимальный диапазон значений числа $t+2\pi k$ Но что необходимо выбрать на самом деле?

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с числовой окружностью
Сообщение13.08.2013, 20:25 
Аватара пользователя
BENEDIKT в сообщении #754538 писал(а):
Но что необходимо выбрать на самом деле?

Из $[0; 2\pi)$ выбирайте что надо.

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с числовой окружностью
Сообщение13.08.2013, 20:33 
BENEDIKT в сообщении #754538 писал(а):
Необходимо найти на числовой окружности точки с абсциссой $x<\frac{1}{2}$
Я тут один не знаю, кто такая "числовая окружность"?
Из тех, которые как-то вписываются в контекст ("вписанная", например, не вписывается), знаю "действительную", "произвольную", "единичную". А "числовая" --- это которая что?

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с числовой окружностью
Сообщение13.08.2013, 23:03 

(Оффтоп)

Согласно закону исключенного третьего, все есть число или нечисло. Значит, окружность либо числовая либо нечисловая, но нечисловая окружность это уж совсем, так что пусть будет числовой))

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с числовой окружностью
Сообщение13.08.2013, 23:21 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #754590 писал(а):
Согласно закону исключенного третьего
Интуиционисты Вас не похвалят...

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с числовой окружностью
Сообщение13.08.2013, 23:50 

(Оффтоп)

Я, как и (, похоже, ) BENEDIKT в этой вашей математике не особо разбираюсь. А вы тут Все (, похоже, ) выпендриваетесь. Не могли бы вы, образованные, чётко написать, без выпендрёжей, что, мол, моя претензия правомерна, или, например, наоборот, --- что любому [образованному, читающему школьные учебники, etc] очевидно, что речь идёт о ??? окружности, и что я, соответственно, недостаточно образован. А то и т?п, или г??п, или вообще д???л.
:D

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с числовой окружностью
Сообщение14.08.2013, 00:01 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Шутим же :o Из контекста задачи наиболее логично предположить, что имеется ввиду единичная окружность, могла быть любая другая, но тогда об этом, наверное, упоминалось бы.

-- Вт авг 13, 2013 14:04:24 --

UPD: Претензия вполне правомерна, видимо, произошла очепятка :D

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с числовой окружностью
Сообщение14.08.2013, 02:26 
Таки мало того, если уж $x$ — это в условии абсцисса, обозначать ею же в решении угол как бы не совсем кошерно. Либо $\begin{cases}-1\le x\le\frac12\\y=\pm\sqrt{1-x^2}\end{cases}$, либо обозначить угол какой-нить более подобающей буквой.

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с числовой окружностью
Сообщение14.08.2013, 21:58 
Прошу прощения, я допустил опечатку. Следовало написать не $\frac{-5\pi}{3}}+2\pi k<x<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$ или $\frac{\pi}{3}}+2\pi k<x<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$, а
$\frac{-5\pi}{3}}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$ или $\frac{\pi}{3}}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$
TOTAL в сообщении #754541 писал(а):
Из $[0; 2\pi)$ выбирайте что надо.

То есть верен второй вариант:
$\frac{\pi}{3}}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$?
Тогда не ясно, почему в учебнике в аналогичных примерах представлен как первый, так и второй вариант? То есть как $\frac{-5\pi}{3}}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$, так и $\frac{\pi}{3}}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$?

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с числовой окружностью
Сообщение14.08.2013, 22:17 
BENEDIKT в сообщении #754764 писал(а):
$\frac{-5\pi}{3}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{3}+2\pi k$

Вы, похоже, не представляете себе, что означает эта запись по существу.
А она означает, что множество решений неравенства $\cos t< 1/2$ есть (якобы) объединение всех таких интервалов, то есть
$\cup_{k=-\infty}^{+\infty}\left(\frac{-5\pi}{3}+2\pi k, \frac{5\pi}{3}+2\pi k\right).$
Что это значит? Это значит, что любая точка из каждого такого интервала будет решением (и других нет).
А теперь возьмите любой из них. Например, при $k=0$ получается интервал $\left(\frac{-5\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right)$. Нарисуйте его на окружности. Что Вы видите? будет?

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с числовой окружностью
Сообщение15.08.2013, 09:36 
Аватара пользователя
BENEDIKT в сообщении #754764 писал(а):
Прошу прощения, я допустил опечатку. Следовало написать не $\frac{-5\pi}{3}}+2\pi k<x<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$ или $\frac{\pi}{3}}+2\pi k<x<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$, а
$\frac{-5\pi}{3}}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$ или $\frac{\pi}{3}}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$
TOTAL в сообщении #754541 писал(а):
Из $[0; 2\pi)$ выбирайте что надо.

То есть верен второй вариант:
$\frac{\pi}{3}}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{3}}+2\pi k$?

Зачем добавлять $2\pi k$? Ведь это все равно что на вопрос "сколько будет дважды два" отвечать "четыре, четыре, четыре, четыре, ..."

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с числовой окружностью
Сообщение15.08.2013, 10:01 
TOTAL в сообщении #754854 писал(а):
Зачем добавлять $2\pi k$?

Думал, так будет правильно, ведь каждое число $t$ на окружности соответствует всем числам вида $t+2\pi k$...
Otta в сообщении #754772 писал(а):
А теперь возьмите любой из них. Например, при $k=0$ получается интервал $\left(\frac{-5\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right)$. Нарисуйте его на окружности. Что Вы видите?

Если я правильно понял, моя ошибка в том, что интервал $(\frac{-5\pi}{3}, \frac{5\pi}{3})$ включает в себя в том числе луч
$(\frac{-5\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$, что неверно? Т. о. верен второй вариант: t принадлежит интервалу $(\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3})$?

Непонятно, что имел в виду автор учебника, когда писал, например, следующее.
Пример. Найти на числовой окружности точки с ординатой $y<\frac{1}{2}}$ и записать, каким числам t они соответствуют.
Решение. Прямая $y=\frac{1}{2}}$ пересекает числовую окружность в точках $\frac{-7\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{6}$
Таким образом, $\frac{-7\pi}{6}+2\pi k<t<\frac{\pi}{6}+2\pi k$

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с числовой окружностью
Сообщение15.08.2013, 10:41 
Аватара пользователя
Непонятно, что имел в виду автор учебника, когда употреблял термин «числовая окружность». Это сейчас на самом деле так в школьных учебниках пишут?

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с числовой окружностью
Сообщение15.08.2013, 11:06 
BENEDIKT в сообщении #754857 писал(а):
Если я правильно понял, моя ошибка в том, что интервал $(\frac{-5\pi}{3}, \frac{5\pi}{3})$ включает в себя в том числе луч

Вы его нарисовали? Точно-точно? Или на ходу пытаетесь сообразить?
Aritaborian в сообщении #754864 писал(а):
Непонятно, что имел в виду автор учебника, когда употреблял термин «числовая окружность». Это сейчас на самом деле так в школьных учебниках пишут?

Ни разу не попадалось, хотя приходилось читать разные учебники.

 
 
 
 Re: Вопрос, связанный с числовой окружностью
Сообщение15.08.2013, 11:07 
Аватара пользователя
BENEDIKT в сообщении #754857 писал(а):
TOTAL в сообщении #754854 писал(а):
Зачем добавлять $2\pi k$?

Думал, так будет правильно, ведь каждое число $t$ на окружности соответствует всем числам вида $t+2\pi k$...
Зачем одну и ту же точку окружности называть несколько раз?

 
 
 [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group