радиальные геодезические в разных координатах

[schekn]

Радиальные геодезические в разных координатах для сферически симметричной задачи.
Возьмем уравнение для радиальных геодезических в метрике Шварцшильда. Например из книги Новиков-Фролов "Физика черных дыр" (2.3.5) стр. 14 :

$\frac{dr} {dT}={\pm}c(1-r_g/r)[(E/mc^2)^2-1+r_g/r]^{1/2}/(E/mc^2)$

Это уравнение времени подобных массивных частиц, которые радиально движутся в поле сферически-симметричного тела.
Найдем несколько частных решений и построим диаграммы (T,r).
1. Пусть постоянная интегрирования $E/mc^2=1$ . Это соответствует случаю, когда скорость на бесконечности ноль. Для построения графика положим $r_g=1$, $c=1$.

$dT={\pm}\frac{dr\,{r}^{\frac{3}{2}}}{r-1}dr$

После интегрирования:

$T={\pm}(\frac{2\,{r}^{\frac{3}{2}}+6\,\sqrt{r}}{3}-\mathrm{\ln}\left( \sqrt{r}+1\right) +\mathrm{\ln}\left( \sqrt{r}-1\right))$

На графике:


рис.1 ( в данном случае ордината y это время T (глюк программы Maxima, не знаю как обойти), абсцисса - r).
Здесь две геодезических - падающая и улетающая.

2. Возьмем $E/mc^2=1/{\sqrt{2}}$. (Примем также $r_g=1$, $c=1$ )

$dT={\pm}\frac{dr}{\sqrt{2}\,\left( 1-\frac{1}{r}\right) \,\sqrt{\frac{1}{r}-\frac{1}{2}}}$

Интегрирования дает длинное выражение, поэтому приведу только графики.
Начальные условия выбрал таким образом, чтобы в максимальной точке подъема было T=0



рис. 2

По-видимому этот график и дает основание думать, что горизонт Риндлера ( рисунок из Википедии) напоминает горизонт Черной Дыры (на графиках это вертикальная $r=r_g=1$).
(http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0% ... 1%80%D0%B0)

Давайте посмотрим, что творится в области $r<r_g$. Для этого возьмем решение уравнений Г-Э. для сферически-симметричного случая, который распространяется и на данную область.

-- 13.08.2013, 10:24 --

Радиальная геодезическая в метрике Эддингтона-Финкельштейна.

Чтобы понять, что творится с радиальными геодезическими на горизонте, если у нас имеется "вечная " черная дыра, возьму метрику, координаты которой покрывают всю вакуумную область $ r>0. $ - Эддингтона-Финкельштейна. В некотором аспекте она проще Леметра, поскольку координата r та же, что и у Шварцшильдовской метрики и проще сравнивать (переходить от одной к другой).

$ds^2=(1-r_g/r)dt^2c^2-2cdtdr-r^2d{\Omega}^2$ (1)

$\begin{pmatrix}{c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{r}\right) & -c & 0 & 0\cr -c & 0 & 0 & 0\cr 0 & 0 & -{r}^{2} & 0\cr 0 & 0 & 0 & -{r}^{2}\,{\mathrm{\sin}\left( \theta\right) }^{2}\end{pmatrix}$

Определитель $g=-{c}^{2}\,{r}^{4}\,{\mathrm{\sin}\left( \theta\right) }^{2}$

Чтобы сильно не загружать тему формулами, буду приводить основные выводы, а черновики подгружу как-нибудь или залью на файлобменник, если кто захочет проверить (поэтому нумерация формул здесь не по порядку).

Радиальные геодезические, когда ${\theta}={\pi}/2$, ${\varphi}=0$

$\frac{2\,c\,{r}^{2}\,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{s}^{2}}\,t\right) +{c}^{2}\,rg\,{\left( \frac{d}{d\,s}\,t\right) }^{2}}{2\,c\,{r}^{2}}=0$ (3a)

$\frac{-{c}^{2}\,{rg}^{2}\,{\left( \frac{d}{d\,s}\,t\right) }^{2}+{c}^{2}\,r\,rg\,{\left( \frac{d}{d\,s}\,t\right) }^{2}-2\,c\,r\,\left( \frac{d}{d\,s}\,r\right) \,rg\,\left( \frac{d}{d\,s}\,t\right) +2\,{r}^{3}\,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{s}^{2}}\,r\right) }{2\,{r}^{3}}=0$ (3б)

Введем обозначение $u^0=dt/ds, u^1=dr/ds$
разделим уравнение (1) на $ds$ и запишем его в новых обозначениях:

1$={c}^{2}\,\left( 1-\frac{rg}{r}\right) \,{u^0}^{2}-2\,c\,u^0\,u^1$ (4)

[schekn]

Для нахождения $u^0 , u^1$ обычно решают систему диф. уравнений (4) и (3а).
Для этого решаем (4) относительно $u^1$:

$u^1=-\frac{\left( {c}^{2}\,rg-{c}^{2}\,r\right) \,{u^0}^{2}+r}{2\,c\,r\,u^0}$ (5)

Уравнение (3а) в обозначениях $u^0 , u^1$ :

$\left( \frac{d}{d\,r}\,u^0\right) \,u^1+\frac{c\,rg\,{u^0}^{2}}{2\,{r}^{2}}=0$ (6)

Подставляем $u^1$ из (5) в (6) и решаем диф. уравнение относительно $u^0$

$\frac{\left( -\left( {c}^{2}\,rg-{c}^{2}\,r\right) \,{u^0}^{2}-r\right) \,\left( \frac{d}{d\,r}\,u^0\right) }{2\,c\,r\,u^0}+\frac{c\,rg\,{u^0}^{2}}{2\,{r}^{2}}=0$

Получаем :

$\frac{r-\left( {c}^{2}\,rg-{c}^{2}\,r\right) \,{u^0}^{2}}{2\,c\,r\,u^0}=A$ (8)

где A - интеграл движения.

Решаем квадратное уравнение (8) относительно $u^0$ и имеем 2 решения:

$u^0=\frac{\sqrt{{r}^{2}\,{A}^{2}+r\,rg-{r}^{2}}-r\,A}{c\,rg-c\,r},u^0=-\frac{\sqrt{{r}^{2}\,{A}^{2}+r\,rg-{r}^{2}}+r\,A}{c\,rg-c\,r}$

Тогда соответственно 2 выражения для $u^1$:

$-\sqrt{A^2+r_g/r-1}$ (9)

$\sqrt{A^2+r_g/r-1}$ (10)

Координатная скорость :

Найдем координатную скорость для двух радиальных геодезических:

$dr/dt=\frac {dr/ds} {ds/dt}=u^1/u^0$

Получаем после упрощений:

$dr/dt(1)=-c(r_g/r-1)\sqrt{A^2+r_g/r-1}/(\sqrt{A^2+r_g/r-1}-A)$ (11а)

$dr/dt(2)=-c(r_g/r-1)\sqrt{A^2+r_g/r-1}/(\sqrt{A^2+r_g/r-1}+A)$ (12а)

Собственно эти два выражения нам в дальнейшем и понадобятся. Если они верные, то далее можно попытаться понять, что творится на горизонте.

Проведем оценку того, что творится с интервалом $ds^2$ для частиц двигающихся радиально , для этого подставим $dr$ из (11а) и (12а) в первоначальные выражение (1) метрики.

Получим:
$ds^2=c^2dt^2(\sqrt{A^2+r_g/r-1}+A)^2$ (18)

Это убегающая геодезическая . И вторая "падающая":

$ds^2=c^2dt^2(r_g/r-1)^2/(\sqrt{A^2+r_g/r-1}+A)^2 $ (19)

На горизонте: при $r$ стремящемся к $r_g$ :

$ds^2=4c^2A^2dt^2$

для первой и :

$ds^2=0$

для второй.

Поскольку времениподобная не может обратиться в изотропную , для второй геодезической существует некая особенность на горизонте. Чтобы понять это, рассмотрю также как и со Шварцшильдом два частных решения.

-- 13.08.2013, 11:46 --

Частные решения.

3. A=1.

Физический смысл постоянной A я не буду пока рассматривать. Дело в том, что Новиков-Фролов ссылаются на Богородского, но у него, и в подобных решениях у Брумберга , у Гильберта, фигурирует просто интеграл движения А. Почему у них появилось вместо этого $E/mc^2$, пусть остается на совести авторов. Скорее надо было сослаться на Ландау-Лифшица. При переходе к метрике Шварцшильда , у меня (может случайно) получилось , что $A=E/mc^2$. Но я не буду этим вопросом озабачиваться.

Итак, пусть A=1. Тогда Первая (падающая) геодезическая:

$dt=-\frac{\sqrt{\frac{rg}{r}}-1}{c\,\sqrt{\frac{rg}{r}}\,\left( \frac{rg}{r}-1\right) }dr$

Вторая:

$dt=-\frac{\sqrt{\frac{rg}{r}}+1}{c\,\sqrt{\frac{rg}{r}}\,\left( \frac{rg}{r}-1\right) }dr$

После интегрирования получим 2 геодезические на одном рисунке в координатах $(t-r)$:



рис. 3. (A=1) $r_g=c=1$, красная - "падающая", синяя - "Убегающая" геодезические в координатах Эддингтона-Финкельштейна. (вместо $y$ иметь в виду $ t$)

Видно , что красная-"падающая" спокойно пересекает горизонт, в то время как вторая " убегающая" (синяя)
расщепилась на 2 части. Собственно этот рисунок нам потребуется для дальнейшего анализа.
Вне горизонта частица попадает на правую синюю ветку и может улететь совсем, если ее скорость близка к скорости света. Внутри горизонта она падает по любому в центр к истинной сингулярности.

4. Построим также графики для другого случая $A=1/\sqrt{2}$
Приведу окончательные графики:


рис. 4 $A=1/\sqrt{2}$, $r_g=c=1$

Начальные условия выбраны так, чтобы точка остановки для второй геодезической $r=2$ была при $t=0$.

Вывод-вопросы.
1.Таким образом, особенность на горизонте осталась. Это особенность физическая, а не координатная.В точке $t=-\infty$ скорость второй геодезической равна скорости света.
2. Можно ли корректно поставить задачу Коши на горизонте? Наверное нет. Это неустойчивое решение.
3. Приходит в голову такая задача: изотоп распадается на горизонте ( в случае вечной ЧД). Один осколок летит радиально в центр , а второй в зависимости от своего положения: чуть выше горизонта - летит по одной траектории ( сначала синяя , потом - красная), чуть ниже горизонта - по нижней синей ветке на рис. 4.
4. Качественно картина будет похожей и для другой метрики , например для Леметра, поскольку они связаны допустимыми координатными преобразованиями.

PS. Черновики залил сюда в формате docx: http://yadi.sk/d/7MIoEz967rYUm
Не знаю как приклеить файл.

[Munin]

Молодец, студент, графики правильные. Выводы - нет.

schekn в сообщении #754384 писал(а):

PS. Черновики залил сюда в формате docx: http://yadi.sk/d/7MIoEz967rYUm
Не знаю как приклеить файл.

Файлы в формате docx лучше никуда не приклеивать и не выкладывать. Их надо переконверчивать в PDF.

[schekn]

Munin в сообщении #754451 писал(а):

файлы в формате docx лучше никуда не приклеивать и не выкладывать. Их надо переконверчивать в PDF.

http://yadi.sk/d/NIR4vw8y7sWxd
Переконвертировал в pdf.

Munin в сообщении #754451 писал(а):

Молодец, студент, графики правильные. Выводы - нет.

Спасибо за студента, не ожидал, что так молодо выгляжу.
Вот хотелось бы по поводу выводов и поговорить.
Я забыл 5 пункт (не то о чем можно подумать)
5. У Новикова-Фролова написано о том, что физическая скорость частицы стремится к скорости света при приближении к горизонту в координатах Шварцшильда. Можно ли помереть физ. скорость на горизонте? Можно ли рассчитать физ. скорость на горизонте у падающей частицы? Можно ли вообще ввести физ. скорость частицы?

(еще почему-то не получается нормально пронумеровать формулы)

[Someone]

schekn в сообщении #754516 писал(а):

Можно ли вообще ввести физ. скорость частицы?

"Физическую скорость вообще" — нельзя. Физическую скорость, измеренную конкретным наблюдателем, находящемся там же, где движется частица — можно. Как обычно: этот наблюдатель измеряет своей линейкой расстояние, пройденное частицей, а своими часами — затраченное на это время. И делит первое на второе. Ну, и с обычными осложнениями, если частица движется не равномерно.

У Новикова и Фролова речь идёт о скорости, измеренной покоящимися (в системе координат Шварцшильда) наблюдателями. Причём, каждый измеряет скорость в тот момент, когда частица пролетает около него.

schekn в сообщении #754516 писал(а):

Можно ли помереть физ. скорость на горизонте?

Покоящегося наблюдателя на горизонте нет. А, допустим, свободно падающий вполне может измерить. Получит величину, меньшую скорости света.

schekn в сообщении #754384 писал(а):

Видно , что красная-"падающая" спокойно пересекает горизонт, в то время как вторая " убегающая" (синяя)
расщепилась на 2 части.

А чего Вы хотите, если система координат у Вас падающая, и описывает она только частицы, падающие внутрь? Возьмите систему координат, которая сначала расширяется, выходя из-под горизонта, а потом падает. Например, Крускала - Шекереса.

[Munin]

schekn в сообщении #754516 писал(а):

Спасибо за студента, не ожидал, что так молодо выгляжу.

То, чем вы занимаетесь - студенческие упражнения.

schekn в сообщении #754516 писал(а):

Вот хотелось бы по поводу выводов и поговорить.

Ну давайте.

schekn в сообщении #754384 писал(а):

1.Таким образом, особенность на горизонте осталась. Это особенность физическая, а не координатная.В точке $t=-\infty$ скорость второй геодезической равна скорости света.


Нет, особенность не осталась. Нарисованные вами геодезические ничем не выделены. Надо начать геодезическую в произвольном месте и с произвольной (досветовой) начальной скоростью. Тогда вы увидите, что она не замечает "особенность на горизонте".


schekn в сообщении #754384 писал(а):

2. Можно ли корректно поставить задачу Коши на горизонте? Наверное нет. Это неустойчивое решение.


От устойчивости корректность задачи Коши не зависит.


schekn в сообщении #754384 писал(а):

3. Приходит в голову такая задача: изотоп распадается на горизонте ( в случае вечной ЧД). Один осколок летит радиально в центр , а второй в зависимости от своего положения: чуть выше горизонта - летит по одной траектории ( сначала синяя , потом - красная), чуть ниже горизонта - по нижней синей ветке на рис. 4.


Задача как задача. Ничего нового она вам не расскажет, но хотите - сделайте.


schekn в сообщении #754384 писал(а):

4. Качественно картина будет похожей и для другой метрики , например для Леметра, поскольку они связаны допустимыми координатными преобразованиями.


Это верно.


schekn в сообщении #754516 писал(а):

5. У Новикова-Фролова написано о том, что физическая скорость частицы стремится к скорости света при приближении к горизонту в координатах Шварцшильда. Можно ли помереть физ. скорость на горизонте? Можно ли рассчитать физ. скорость на горизонте у падающей частицы? Можно ли вообще ввести физ. скорость частицы?


Помереть - это всегда можно :-)

А вот померять величину, дефинированную в терминах конкретных координат, нельзя. Можно померять только что-то, дефинированное в физических терминах.

schekn в сообщении #754516 писал(а):

(еще почему-то не получается нормально пронумеровать формулы)

Формулы нумеруются так:
$формула\eqno (5) $

[Someone]

(номера формул)

Munin в сообщении #754554 писал(а):

Формулы нумеруются так:
$формула\eqno (5) $

Только двойные доллары надо поставить, иначе не работает:

$$A.\eqno(5)$$

А если позарез нужны одинарные, то можно после формулы написать \quad(5) или \qquad(5) (можно несколько раз), чтобы отодвинуть номер от формулы:
$A,\quad(5)$
$A.\qquad(5)$

[schekn]

Someone в сообщении #754553 писал(а):

У Новикова и Фролова речь идёт о скорости, измеренной покоящимися (в системе координат Шварцшильда) наблюдателями. Причём, каждый измеряет скорость в тот момент, когда частица пролетает около него.

Совершенно верно, но ведь она стремится к скорости света?

Someone в сообщении #754553 писал(а):

Покоящегося наблюдателя на горизонте нет. А, допустим, свободно падающий вполне может измерить. Получит величину, меньшую скорости света.

Да, получит, но ведь он, свободно падающий, ускоряется относительно инерциальной СО . Какая его скорость относительно ИСО?

Someone в сообщении #754553 писал(а):

А чего Вы хотите, если система координат у Вас падающая, и описывает она только частицы, падающие внутрь? Возьмите систему координат, которая сначала расширяется, выходя из-под горизонта, а потом падает. Например, Крускала - Шекереса.

Ну этого я не знаю. Я пока рассматриваю координаты Э-Ф. Я вижу особенность на горизонте. Вы думаете в других координатах (или в другой СО ) она исчезнет?

Munin в сообщении #754554 писал(а):

То, чем вы занимаетесь - студенческие упражнения.

Если бы я увидел данные расчеты в учебниках, то не приводил бы их здесь, а сослался.

Munin в сообщении #754554 писал(а):

От устойчивости корректность задачи Коши не зависит.

Спросите у математиков относительно корректности постановки задачи Коши.

Munin в сообщении #754554 писал(а):

Помереть - это всегда можно
А вот померять величину, дефинированную в терминах конкретных координат, нельзя. Можно померять только что-то, дефинированное в физических терминах.

Не очень понял.

Цитата:

Нет, особенность не осталась. Нарисованные вами геодезические ничем не выделены. Надо начать геодезическую в произвольном месте и с произвольной (досветовой) начальной скоростью. Тогда вы увидите, что она не замечает "особенность на горизонте".

Тоже не понял. Можете привести пример, чтобы особенности не осталось?

[Someone]

schekn в сообщении #754585 писал(а):

Совершенно верно, но ведь она стремится к скорости света?

Стремится. И что? Возьмём столб у дороги и подберём последовательность наблюдателей, для которых скорость этого столба стремится к скорости света. Хотите сказать, на месте столба сингулярность выскочит?

schekn в сообщении #754585 писал(а):

Да, получит, но ведь он, свободно падающий, ускоряется относительно инерциальной СО . Какая его скорость относительно ИСО?

Господь с Вами, ну откуда там какая-то ИСО возьмётся? Если только локальная. Наш свободно падающий наблюдатель вполне может построить в своей окрестности систему отсчёта, достаточно близкую к инерциальной, и производить в ней измерения. В том числе, и в момент пересечения горизонта. Его скорость в этой "ИСО" равна нулю. Правда, если чёрная дыра не супер-супер-гигантская, то ему для этого надо быть очень-очень маленьким.

schekn в сообщении #754585 писал(а):

Ну этого я не знаю. Я пока рассматриваю координаты Э-Ф. Я вижу особенность на горизонте. Вы думаете в других координатах (или в другой СО ) она исчезнет?

Ну сами посмотрите. Вы взяли сжимающуюся систему координат, и в ней исчезла особенность горизонта для частиц, падающих в чёрную дыру, но осталась особенность горизонта для частиц, вылетающих из белой дыры. Что будет, если Вы возьмёте расширяющуюся систему координат? А если она сначала расширяется из белой дыры, а потом сжимается в чёрную?

[schekn]

Someone в сообщении #754592 писал(а):

Господь с Вами, ну откуда там какая-то ИСО возьмётся? Если только локальная. Наш свободно падающий наблюдатель вполне может построить в своей окрестности систему отсчёта, достаточно близкую к инерциальной, и производить в ней измерения. В том числе, и в момент пересечения горизонта. Его скорость в этой "ИСО" равна нулю. Правда, если чёрная дыра не супер-супер-гигантская, то ему для этого надо быть очень-очень маленьким.

Ну это я погорячился. Однако если ввести фоновую метрику Минковского, пусть даже формально, относительно нее частица пересечет горизонт в том или в другом направлении будет иметь скорость света, а значит ее кинетическая энергия будет бесконечна. Или придется ее ввести с дыркой радиуса $r=r_g$. Однако , если даже не вводить её: я вижу, что на одной геодезический интервал $ds^2=0$ при пересечении горизонта. В моем решении это привело к тому, что вторую геодезическую разорвало на 2 части. Поскольку $ds^2$ инвариант , то его обращение в ноль должено проявиться и в других метриках , которые покрывают всю область $r>0$ и связаны между собой регулярными и дифференцируемыми преобразованиями координат. Пусть даже в бесконечно удаленной по времени точке.

Цитата:

Ну сами посмотрите. Вы взяли сжимающуюся систему координат, и в ней исчезла особенность горизонта для частиц, падающих в чёрную дыру, но осталась особенность горизонта для частиц, вылетающих из белой дыры. Что будет, если Вы возьмёте расширяющуюся систему координат? А если она сначала расширяется из белой дыры, а потом сжимается в чёрную?

Я не очень понимаю , что есть радиальная геодезическая в метрике Крускала. Поэтому я взял более простой случай. Вы хотите сказать, что манипуляциями с системой координат можно как-то изменить особенность в интервале?

Цитата:

Стремится. И что? Возьмём столб у дороги и подберём последовательность наблюдателей, для которых скорость этого столба стремится к скорости света. Хотите сказать, на месте столба сингулярность выскочит?

Подозреваю, что это будет координатная скорость, которая может превышать скорость света. Здесь сингулярность не та, о которой обычно пишут: обрыв геодезических или сингулярность инвариантов кривизны. Здесь просто массивное тело достигло скорости света. Не координатной.

Кстати, Вы не отреагировали на мое замечание о некорректности задачи Коши на горизонте в таком случае. Зная координату и скорость частицы мы не можем однозначно определить, как она полетит.

[Someone]

schekn в сообщении #754635 писал(а):

Однако если ввести фоновую метрику Минковского, пусть даже формально, относительно нее частица пересечет горизонт в том или в другом направлении будет иметь скорость света, а значит ее кинетическая энергия будет бесконечна.

Продемонстрируйте.

schekn в сообщении #754635 писал(а):

я вижу, что на одной геодезический интервал $ds^2=0$ при пересечении горизонта.

Горизонт — это поверхность, образованная изотропными геодезмческими.

schekn в сообщении #754635 писал(а):

В моем решении это привело к тому, что вторую геодезическую разорвало на 2 части.

Ничего удивительного. Эта система координат не приспособлена для описания геодезических, выходящих из белой дыры. Она предназначена для мировых линий, уходящих в чёрную дыру.

schekn в сообщении #754635 писал(а):

Я не очень понимаю , что есть радиальная геодезическая в метрике Крускала.

Там же есть радиальная координата.

schekn в сообщении #754635 писал(а):

Вы хотите сказать, что манипуляциями с системой координат можно как-то изменить особенность в интервале?

Вы же это проделали. Для мировых линий частиц, падающих в чёрную дыру. Вы сами себе не верите?

schekn в сообщении #754635 писал(а):

Кстати, Вы не отреагировали на мое замечание о некорректности задачи Коши на горизонте в таком случае. Зная координату и скорость частицы мы не можем однозначно определить, как она полетит.

Я Вам уже писал: система координат Шварцшильда — плохая. Она описывает отдельно внешнюю область и отдельно внутреннюю область, а их объединение не описывает. Из-за того, что вырождается на горизонте. Из-за этого у Вас все проблемы.

schekn в сообщении #754635 писал(а):

Подозреваю, что это будет координатная скорость, которая может превышать скорость света.

С чего Вы взяли? Каждый наблюдатель будет измерять физическую скорость столба в своей системе отсчёта.

[Munin]

schekn в сообщении #754585 писал(а):

Если бы я увидел данные расчеты в учебниках, то не приводил бы их здесь, а сослался.

Их потому в учебниках и нет, что они банальны, как студенческие упражнения. Впрочем, примерно до такого уровня детальности опускается МТУ, насколько я помню.

schekn в сообщении #754585 писал(а):

Я пока рассматриваю координаты Э-Ф. Я вижу особенность на горизонте.

Это странно :-)

schekn в сообщении #754585 писал(а):

Спросите у математиков относительно корректности постановки задачи Коши.

Зачем? Они не говорят той ерунды, которую говорите вы.

schekn в сообщении #754585 писал(а):

Тоже не понял. Можете привести пример, чтобы особенности не осталось?

Вы же сами его и привели: красная линия на последней картинке в post754384.html#p754384

schekn в сообщении #754635 писал(а):

Кстати, Вы не отреагировали на мое замечание о некорректности задачи Коши на горизонте в таком случае. Зная координату и скорость частицы мы не можем однозначно определить, как она полетит.

В координатах Эддингтона-Финкельштейна - можем.

[schekn]

Цитата:

Someone в сообщении #754656 писал(а):

schekn в сообщении #754635
писал(а):
Однако если ввести фоновую метрику Минковского, пусть даже формально, относительно нее частица пересечет горизонт в том или в другом направлении будет иметь скорость света, а значит ее кинетическая энергия будет бесконечна

. Продемонстрируйте.

Это не очень просто. Но я видел расчеты в теории, где метрика Минковского встроена намертво. Там нет черных дыр.

Someone в сообщении #754656 писал(а):

Горизонт — это поверхность, образованная изотропными геодезмческими.

У меня после формул (18) и (19) как раз показано, что одна времениподобная геодезическая по сути становится в одной точке изотропной. То есть $ds^2=0$ на горизонте. Есть теорема, которая говорит, что для времени подобной этого не может быть даже в одной точке. Конечно при более подробном рассмотрении я увидел, что это не так, но это далось ценой расщепления ее на 2 части.

Someone в сообщении #754656 писал(а):

Ничего удивительного. Эта система координат не приспособлена для описания геодезических, выходящих из белой дыры. Она предназначена для мировых линий, уходящих в чёрную дыру.

Думаете, что в другой системе координат все будет гладко?
Я честно говоря не очень верю в черные дыры и уж тем более в белые. Поэтому этот аргумент непонятен. Чисто математически да, есть такие решения уравнений. Но это еще ничего не значит. У меня геодезические не выходят ни из какой белой дыры. Они выходят из Черной. Я показал пример с распадом изотопа на горизонте.

Someone в сообщении #754656 писал(а):

Цитата:

schekn в сообщении #754635
писал(а):
Вы хотите сказать, что манипуляциями с системой координат можно как-то изменить особенность в интервале?

Вы же это проделали. Для мировых линий частиц, падающих в чёрную дыру. Вы сами себе не верите?

Тут я не понял возражения. Если Вы имеете в виду , что я как бы устранил особенность в компонентах метрики Шварцшильда сингулярными преобразованиями, то это не так. Я взял другое решение уравнений Гильберта-Эйнштейна метрику Эддингтона-Финкельштейна. Как она получена , я, предположим, не знаю. Пусть я догадался. Там нет особенности в компоненте $g_{rr}$ (ее там вообще нет). Эти два решения отличаются областью определения для координаты r. Поэтому говорить о сравнении особенности двух метрик на $r=r_g,$ если поверхность в вакууме не совсем корректно. С другой стороны , метрика Крускала связана с метрикой Э-Ф допустимыми преобразованиями координат для всей области $r>0$.

Someone в сообщении #754656 писал(а):

Я Вам уже писал: система координат Шварцшильда — плохая. Она описывает отдельно внешнюю область и отдельно внутреннюю область, а их объединение не описывает. Из-за того, что вырождается на горизонте. Из-за этого у Вас все проблемы.

Я Вам попытаюсь показать, что она не такая уж плохая в другой теме, где я рассмотрю коллапс по Вайнбергу.
Во-первых, мы все измерения во вселенной ведем именно исходя из системы координат Шварцшильда (или связанных допустимыми преобразованиями). То есть мы не можем перейти реально в сопутствующую СО с коллапсирующим телом или послать зонд в ЧД, чтобы узнать, пересечет ли он горизонт и что там внутри. Во-вторых, внутренняя область Шварцшильда - это фантазии теоретиков Фролова и Новикова. ТО, что меняя t и r мы получаем еще одно решение уравнений Гильберта-Эйнштейна, ни о чем не говорит. Это решение надо отбросить, как нефизическое. Там не выполняется закон сохранения нуклонов.
В-Третьих, тут недавно один молодой теоретик активно пропагандировал метрику Пенлеве. Это значит, сколько людей столько и предпочтений в данной вопросе.

-- 14.08.2013, 18:28 --

Munin в сообщении #754703 писал(а):

Их потому в учебниках и нет, что они банальны, как студенческие упражнения. Впрочем, примерно до такого уровня детальности опускается МТУ, насколько я помню.

Ну может быть Вы ее решите с пол пинка. У меня это заняло достаточно продолжительное врмя.

Цитата:

Munin в сообщении #754703 писал(а):

schekn в сообщении #754585
писал(а):
Спросите у математиков относительно корректности постановки задачи Коши.

Зачем? Они не говорят той ерунды, которую говорите вы.

Это не ерунда, это совсем не ерунда ( как говорил Мюллер). Я привел пример - распад изотопа на горизонте. У Вас неоднозначность, связанная со второй геодезической.

Вы говорите про красную, а я Вам говорю про синюю кривую.

[Munin]

schekn в сообщении #754709 писал(а):

Ну может быть Вы ее решите с пол пинка. У меня это заняло достаточно продолжительное врмя.

Дело не во времени, а в том, что принципиальных сложностей задача не составляет.

schekn в сообщении #754709 писал(а):

Это не ерунда, это совсем не ерунда ( как говорил Мюллер). Я привел пример - распад изотопа на горизонте. У Вас неоднозначность, связанная со второй геодезической.

Простите, вы привели ерунду, никак не связанную с проведёнными вами вычислениями. Никакой неоднозначности нет.

schekn в сообщении #754709 писал(а):

Вы говорите про красную, а я Вам говорю про синюю кривую.

Синей кривой нет. Есть две кривые, которые вы по ошибке покрасили в один синий цвет. Одна из них - начальный кусок красной, другая - такая же красная, только начинающаяся с горизонта вовнутрь. Ни на одной кривой нет никаких особенностей.

[schekn]

Munin в сообщении #754714 писал(а):

Простите, вы привели ерунду, никак не связанную с проведёнными вами вычислениями. Никакой неоднозначности нет.

Munin в сообщении #754714 писал(а):

Синей кривой нет. Есть две кривые, которые вы по ошибке покрасили в один синий цвет. Одна из них - начальный кусок красной, другая - такая же красная, только начинающаяся с горизонта вовнутрь. Ни на одной кривой нет никаких особенностей.

Хорошо, на самих кривых особенностей нет, ну кроме точки r=0. Но Вы задавая координату частицы $r=r_g$ (углы любые) и радиальную скорость скорость $v=v_r$ в данных координатах не сможете предсказать ее дальнейшее поведение.