Научите понимать косинус

[arseniiv]

Munin в сообщении #750221 писал(а):

Почему же не подходит?

Чтобы из того определения получить косинус действительного числа, нужно определить угол между векторами; к тому же, к косинусу прямее ведут определения через дифур и единичную окружность (хотя по сути там и те же проекции, нет лишних длин векторов). Или на вкус и цвет…

[Munin]

arseniiv в сообщении #750324 писал(а):

Чтобы из того определения получить косинус действительного числа

О нет, это определение косинуса угла, причём угла между двумя векторами (или двумя направленными прямыми). Разумеется, это не определение функции косинус.

[arseniiv]

Тогда не против.

[bigarcus]

а почему угол между единичными векторами считается? ведь угол ведь все равно между векторами какой длины брать останется одним и тем же...

а в каких пределах изменяется возможный угол между векторами в пространствах разной размерности?

[Aritaborian]

Здравствуйте. Спасибо, что позволили нам недельку отдохнуть ;-)

bigarcus в сообщении #752729 писал(а):

а почему угол между единичными векторами считается?

Где считается?

bigarcus в сообщении #752729 писал(а):

а в каких пределах изменяется возможный угол между векторами в пространствах разной размерности?

Любые два вектора в пространстве любой размерности компланарны. Следовательно, угол изменяется так же, как в двумерном и трёхмерном случаях.

[arseniiv]

И другой ответ на тот же вопрос: т. к. косинус угла принимает значения в пределах $[-1;1]$, угол получается в пределах $\arccos\,[-1;1] = [0;\pi]$.

-- Ср авг 07, 2013 04:06:20 --

Всегда, исходя из того как всё вводится: безразлично к размерности.

[bigarcus]

про углы понятно всё стало, спс

[bigarcus]

не могу понять почему при вычитании у векторов соотв. координаты вычитаются

[Munin]

bigarcus в сообщении #752729 писал(а):

а почему угол между единичными векторами считается?

Поскольку $(\mathbf{a},\mathbf{b})=\lvert\mathbf{a}\rvert\lvert\mathbf{b}\rvert\cos\varphi,$ то очевидно, взяв $\lvert\mathbf{a}\rvert=1$ и $\lvert\mathbf{b}\rvert=1,$ мы получим $(\mathbf{a},\mathbf{b})=\cos\varphi,$ то есть, косинус в чистом виде.

Но разумеется, никто не мешает нам взять неединичные векторы. Тогда нам нужно всего лишь поделить скалярное произведение на длины векторов-сомножителей. А как эти длины найти? Можно взять скалярное произведение вектора на самого себя, оно даст $(\mathbf{a},\mathbf{a})=\lvert\mathbf{a}\rvert^2.$ Итого, получается:

$$\cos\varphi=\dfrac{(\mathbf{a},\mathbf{b})}{\sqrt{(\mathbf{a},\mathbf{a})}\sqrt{(\mathbf{b},\mathbf{b})}}.$$

Эту формулу полезно запомнить, или хотя бы держать под рукой.

-- 07.08.2013 15:09:36 --

bigarcus в сообщении #752859 писал(а):

не могу понять почему при вычитании у векторов соотв. координаты вычитаются

А при сложении - можете понять? Тогда просто запишите $\mathbf{a}-\mathbf{b}=\mathbf{a}+(-\mathbf{b}).$

[Aritaborian]

bigarcus в сообщении #752859 писал(а):

не могу понять почему при вычитании у векторов соотв. координаты вычитаются

А что им ещё делать? Складываться им нельзя, получится сложение векторов. Перемножать их, что ли? ;-D
Если чуть серьёзнее, то попробуйте понять следующее (внимательно смотрим на руки): вычитание вектора $\vec b$ из вектора $\vec a$ — тоже самое, что прибавление к вектору $\vec a$ вектора, противоположного вектору $\vec b$. Внимание, вам вопрос: что нужно сделать с координатами вектора $\vec b$, чтобы получить противоположный ему?

[bigarcus]

Aritaborian в сообщении #752864 писал(а):

чтобы получить противоположный ему?

изменить знаки при всех координатах

[Aritaborian]

Ну и? Теперь понятно,

bigarcus в сообщении #752859 писал(а):

почему при вычитании у векторов соотв. координаты вычитаются

?

[bigarcus]

Munin в сообщении #752860 писал(а):

$$\cos\varphi=\dfrac{(\mathbf{a},\mathbf{b})}{\sqrt{(\mathbf{a},\mathbf{a})}\sqrt{(\mathbf{b},\mathbf{b})}}.$$

Эту формулу полезно запомнить, или хотя бы держать под рукой.

а чему соответствует операция "центрирования"?
т.е. когда вычитаем в этой формуле средние, как в теме написано: http://dxdy.ru/topic74352.html

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #752860 писал(а):

А при сложении - можете понять? Тогда просто запишите $\mathbf{a}-\mathbf{b}=\mathbf{a}+(-\mathbf{b}).$

Опередили ;-)

bigarcus, я видимо, не выспался, ибо в упор не понимаю, причём здесь какая-то «операция центрирования» и вычитание каких-то «средних».

(Оффтоп)

Впрочем, я на самом деле не выспался. Где тут смайлик, обозначающий человека, который лёг в полвторого, а поднялся в полшестого?

[bigarcus]

там так написано:

longstreet в сообщении #748490 писал(а):

Именно, для коэффициента корреляции осуществляется переход от

$$ r=\frac{\sum u v}{\sqrt{\sum u^2}\sqrt{\sum v^2}} $$

путём замены/нормализации $u=x-\hat{x}$ и $v=y-\hat{y}$ к

$$ r=\frac{\sum (x-\hat{x})(y-\hat{y})}{\sqrt{\sum (x-\hat{x})^2}\sqrt{\sum (y-\hat{y})^2}} $$

хотелось бы понять что это дает, какая геом. интерпретация и проч.

Aritaborian

(Оффтоп)

кому тут интересен ваш режим дня?