День 1:
1. Пусть

- симметрические матрицы, собственные значения которых строго больше единицы. Докажите что собственные значения

по модулю строго больше 1.
2. Пусть

дважды дифференцируема и

. Докажите что существует

, такое что

.
3. Пусть

- натуральное.

школьников едут на экскурсию по

человек. Найдите наименьшее количество экскурсий, которых необходимо, чтобы каждая пара школьников была на одной экскурсии.
4. Пусть

,

- неотрицательные действительные числа. Положим что

. Докажите, что

.
5. Существует ли последовательность комплексных чисел, такая что ряд

сходится тогда и
только тогда, когда

не простое.
UPD: поправил 2.