Вектор Пойнтинга

[svv]

Мой способ (который, насколько я Вас понял, совпадает с Вашим) интерпретировать уравнение баланса энергии как уравнение непрерывности энергетической субстанции (имеющей скорость) следующий. Мы сравниваем
$\operatorname{div}\mathbf S + \frac{\partial w}{\partial t}=0$
с
$\operatorname{div}\mathbf j + \frac{\partial \rho}{\partial t}=0$.
Так как $\mathbf j=\rho\mathbf v$, то аналогично $\mathbf S=w\mathbf v$.
Таким образом,
$\mathbf v=\frac{\mathbf S}{w}=\dfrac{\frac {c}{4 \pi} \mathbf E \times \mathbf H}{\frac 1{8\pi}(E^2+H^2)}$
Достоинство этого выражения в том, что оно всегда даёт определённую скорость, даже в статике (и поэтому я Ваше замечание не понял), за исключением только случая, когда оба поля $\mathbf E$ и $\mathbf H$ равны нулю.
Другое дело, что Вам, может быть, не хочется, чтобы скорость была ненулевой в статике.

А теперь ложка дёгтя. С точки зрения теории относительности, плотность энергии и вектор Пойнтинга — это величины $T_{00}$ и $(T_{01}, T_{02}, T_{03})$, в которых фигурируют компоненты тензора энергии-импульса. Отсюда следует, что искусственно найденная нашим способом "скорость энергии" не будет преобразовываться при переходе к другой системе отсчета так же, как численно равный ей (т.е. случайно совпавший в одной СО) "настоящий" вектор скорости.

[romka_pomka]

svv в сообщении #752738 писал(а):

Другое дело, что Вам, может быть, не хочется, чтобы скорость была ненулевой в статике.

Может быть как мне как-то неуютно без групповой скорости. Но вообще мы в этом случае сразу же насильно принуждаем двигаться энергию вслед за Пойнтингом (он в определении скорости). А какие у нас основания? Аналогия с материальной средой? Разве мы не говорим тем самым, что в статическом случае в пространстве есть некоторая среда, которая переносит электромагнитную энергию? (по аналогии с частичками массы, которые переносят кинетическую энергию). Тут уже задавался вопрос: "где располагается потенциальная энергия, кто ее носитель?". Если поле является носителем энергии - то в статике оно распространяется мгновенно, и нет никакой скорости у потенциальной энергии, разве не так?

svv в сообщении #752738 писал(а):

А теперь ложка дёгтя. ...

Этой части я не понял, к сожалению.

[Munin]

romka_pomka в сообщении #752716 писал(а):

Скажите пожалуйста, что такое поток энергии? Как его определить?

Очень просто. Если в каком-то месте энергия прибывает, а в другом убывает, то должно существовать такое векторное поле, что выполняется уравнение

$$\dfrac{\partial w}{\partial t}=-\operatorname{div}\mathbf{j},$$

аналогичное уравнению непрерывности для жидкости, и означающее локальное сохранение какой-то распределённой в пространстве величины, субстанции - в данном случае, энергии.

Это условие, как легко заметить, определяет векторное поле $\mathbf{v}$ не однозначно, а с некоторым произволом. Но от этого никак не избавиться.

romka_pomka в сообщении #752718 писал(а):

Вот в этом и хотелось бы разобраться. В книжках пишут, что известно - вслед за Пойнтингом.

Если бы вы почитали, например, указанного вам Фейнмана, вы бы знали, что в книжках написано и так и так. Там, где написано "известно как" - это на самом деле упрощение от действительной ситуации. Фейнман упоминает о том, что это упрощение. В некоторых других продвинутых книжках тоже это упоминается.

romka_pomka в сообщении #752722 писал(а):

И потом, я думаю об однозначной вещи, о векторе "тока энергии" $\mathbf{j}_w=w\mathbf{V}$, где $w=\frac{dE}{dv}$ объемная плотность энергии, а $\mathbf{V}$ скорость течения.

Вот только эта $\mathbf{V}$ ни из чего не выводится и не имеет физического смысла. Зато $\mathbf{j}_w$ и $w$ имеют.

romka_pomka в сообщении #752728 писал(а):

Да вот плохо, что скорости у энергии в статике нету.

А это просто неверно. Статика - по определению - это когда положения зарядов и величины полей не меняются. Кто запрещает при этом циркулировать энергии с ненулевой скоростью?

У вас очень плохо с такой важной для студента операцией, как расширение понимания и отказ от привычных фактов и соотношений, которые в более общей ситуации оказываются заблуждениями и вредными привычками.

-- 07.08.2013 17:17:01 --

svv в сообщении #752738 писал(а):

Отсюда следует, что искусственно найденная нашим способом "скорость энергии" не будет преобразовываться при переходе к другой системе отсчета так же, как численно равный ей (т.е. случайно совпавший в одной СО) "настоящий" вектор скорости.

Вот, точно! Чесалось у меня в этом месте, но не мог вспомнить!

-- 07.08.2013 17:42:39 --

romka_pomka в сообщении #752836 писал(а):

А какие у нас основания? Аналогия с материальной средой? Разве мы не говорим тем самым, что в статическом случае в пространстве есть некоторая среда, которая переносит электромагнитную энергию?

Она называется "электромагнитное поле". Вы никогда не слышали о нём?

romka_pomka в сообщении #752836 писал(а):

Если поле является носителем энергии - то в статике оно распространяется мгновенно

Нет, никакого подобного "то" нет и быть не может.

Более того, всё ровно наоборот. Поле - локальная система, в том смысле, что величины поля в каждой точке "знают" только о величинах в соседних точках, и никогда ничего не знают о том, что происходит на далёком расстоянии. Это выражается в том, что уравнения поля (полностью его задающие и описывающие, и определяющие его эволюцию со временем) представляют собой дифференциальные уравнения, без слагаемых, связывающих между собой величины в разных точках.

Отсюда следует (можно вывести), что и любые величины, связанные с полем, и выражающиеся через него, подчинены таким же законам: они не могут распространяться мгновенно, а передают свои изменения последовательно от точки к точке, через всё промежуточное пространство.

--------------------------------

Насчёт статики - у вас может быть ошибочная иллюзия, связанная с непониманием одного момента. Дело в том, что действительно, уравнения статики не содержат времени, и если чисто формально решать их для меняющихся со временем систем зарядов, то возникает "мгновенное распространение" изменений по всему полю. Но это будет нарушением области применимости статики. Надо вспомнить, что такое статика. Это теория поля в физическом случае неподвижных или движущихся бесконечно медленно зарядов. На самом деле, изменения в поле распространяются со скоростью света (или не быстрее скорости света). Но для статики эта задержка "не заметна". В ней поле успевает установиться во всём рассматриваемом пространстве так быстро, что не отличается от поля, распространившегося мгновенно, а отличие между ними (ошибка статики как теории) стремится к нулю.

Но не так будет в случае быстрых изменений системы зарядов, и рассмотрения явлений на малых масштабах времени. В этом случае, статика перестаёт быть точной физической теорией, и к ней необходимы поправки. Сначала возникает квазистатическое приближение, а потом и вовсе неизбежно применение полноценной электродинамики.

Это не всегда произносят студентам достаточно чётко, а иногда произносят, но студенты прохлопывают ушами. (Так часто бывает, когда студентам говорят что-то важное, принципиальное и глубокое в начале курса, когда они ничегошеньки не знают. Впрочем, и в конце курса говорить бесполезно - у них уже голова пухнет от частностей, которые надо запомнить к экзамену. Лучше всего всё это проговорить через полгода-год.)

--------------------------------

Добавлю, что эта самая $\mathbf{V}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\mathbf{j}_w/w$ никогда не может быть больше $c.$ Но доказательство оставлю на svv, я сейчас не справлюсь навскидку.

[romka_pomka]

Munin в сообщении #752914 писал(а):

Зато $\mathbf{j}_w$ и $w$ имеют.

Плотность тока энергии - не имеет. Вы ошиблись. Только его дивергенция. Хватит уже. Основания для приписывания Вектору Пойнтинга плотности потока энергии появляются в нестационарных процессах. А в статике уже дуреют, как хотят. И ничего не докажешь: чуть что - прячутся за дивергенцию.

Munin в сообщении #752914 писал(а):

А это просто неверно.

А это Вы, как водится, не поняли собеседника, что-то там придумали себе и с этим спорите.

Munin в сообщении #752914 писал(а):

Кто запрещает при этом циркулировать энергии с ненулевой скоростью?

Кто бы еще эту циркуляцию обнаружил, чтоб об этом предметно разговаривать.

Munin в сообщении #752914 писал(а):

У вас очень плохо с...

И Вам не хворать.

Munin в сообщении #752914 писал(а):

я сейчас не справлюсь

Я почему то не удивлен.

Munin в сообщении #752914 писал(а):

Поле - локальная система, в том смысле, что величины поля в каждой точке "знают" только о величинах в соседних точках, и никогда ничего не знают о том, что происходит на далёком расстоянии.

Статика - это про дальнодействие. Опять в лужу сели.

Munin в сообщении #752914 писал(а):

На самом деле, изменения в поле распространяются со скоростью света (или не быстрее скорости света).

На самом деле есть Эллиптическое уравнение Пуассона. А это значит, что взаимодействия мгновенны.

[svv]

romka_pomka, Вы чего? Munin же потратил фиг знает сколько времени и сил, чтобы помочь Вам.

romka_pomka в сообщении #752928 писал(а):

Кто бы еще эту циркуляцию обнаружил

Обнаружить её не очень просто, но всё-таки возможно. Дело в том, что (кажется, об этом уже говорилось) поле, создаваемое статическим дуэтом "Заряд & Магнит" (или "Заряд & Замкнутый ток") обладает моментом импульса. И чтобы создать такую комбинацию, и чтобы разрушить её (например, выключив ток), надо передать системе некоторый момент импульса, и это вполне измерибельно. А ведь ничего не вращается! Да, почти ничего, за исключением той самой циркуляции энергии.

См. "парадокс" Фейнмана с зарядами и током.

-- Ср авг 07, 2013 17:25:30 --

Munin в сообщении #752914 писал(а):

Добавлю, что эта самая $\mathbf{V}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\mathbf{j}_w/w$ никогда не может быть больше $c.$

Да, совершенно верно.
$\dfrac{\mathbf v}c=\dfrac{\frac {1}{4 \pi} \mathbf E \times \mathbf H}{\frac 1{8\pi}(E^2+H^2)}=\dfrac{2\mathbf E \times \mathbf H}{E^2+H^2}$

$\dfrac v c=\dfrac{2EH|\sin \alpha|}{E^2+H^2}\leqslant \dfrac{2EH}{E^2+H^2}$ ,
где $\alpha$ — угол между $\mathbf E$ и $\mathbf H$.

По крайней мере одна из величин $E$, $H$ не равна нулю. Пусть это $E$. Тогда, обозначая $k=H/E$, получим
$\dfrac v c \leqslant \dfrac {2k}{1+k^2}$

А теперь я позорно вхожу в WolframAlpha и набираю
max 2k/(1+k^2)
Получаю ответ:
Global maximum:
$\max\left\{\frac{2k}{1+k^2}\right\}=1$ at $k=1$

[Munin]

(Оффтоп)

svv в сообщении #752947 писал(а):

Munin же потратил фиг знает сколько времени и сил, чтобы помочь Вам.

Хамство и неблагодарность для romka_pomka типичны - и ещё сочувствие всяким Моськам, независимо от того, заслуживают ли они...

romka_pomka в сообщении #752928 писал(а):

Кто бы еще эту циркуляцию обнаружил, чтоб об этом предметно разговаривать.

Я вам уже называл опыт. Он был проделан в самом начале 20 века. Не помню, кем - у меня он с Троутоном-Ноблом перепутался.

romka_pomka в сообщении #752928 писал(а):

На самом деле есть Эллиптическое уравнение Пуассона. А это значит, что взаимодействия мгновенны.

На самом деле, оно есть - как предельный случай уравнений Максвелла в случае неподвижных зарядов. И это значит, что "взаимодействия мгновенны" только в том случае, в котором можно перейти к этому предельному переходу.

Я же говорю, это плохо проговаривается...

-- 07.08.2013 19:56:33 --

svv в сообщении #752947 писал(а):

А теперь я позорно вхожу в WolframAlpha и набираю
max 2k/(1+k^2)
Получаю ответ:
Global maximum:
$\max\left\{\frac{2k}{1+k^2}\right\}=1$ at $k=1$

На этой стадии можно и не позориться, а вспомнить, как взаимно расположены парабола $1+k^2$ и прямая $2k$ :-) На это ещё моих мозгов хватает... Если подробнее, то $1+k^2-2k=(1-k)^2\geqslant 0,$ так что числитель знаменателя никогда не превосходит.

-- 07.08.2013 20:08:42 --

(Оффтоп)

А вообще, красиво взаимно расположены две квадратичные формы $E^2+H^2$ и $2EH$...

[Toucan]

Munin в сообщении #752967 писал(а):

сочувствие всяким Моськам

Munin, замечание за личные выпады

[romka_pomka]

svv в сообщении #752947 писал(а):

romka_pomka, Вы чего? Munin же потратил фиг знает сколько времени и сил, чтобы помочь Вам.

Я выполняю его просьбу: он просил быть не голословным, чтоб ему можно было свою честь отстаивать (или достоинство - запамятовал).

svv в сообщении #752947 писал(а):

Обнаружить её не очень просто, но всё-таки возможно. Дело в том, что (кажется, об этом уже говорилось) поле, создаваемое статическим дуэтом "Заряд & Магнит" (или "Заряд & Замкнутый ток") обладает моментом импульса. И чтобы создать такую комбинацию, и чтобы разрушить её (например, выключив ток), надо передать системе некоторый момент импульса, и это вполне измерибельно. А ведь ничего не вращается! Да, почти ничего, за исключением той самой циркуляции энергии.

См. "парадокс" Фейнмана с зарядами и током.

Да, интересно. Вот тут даже математические выкладки - все сходится. Но не лучше ли нам думать, что момент импульса унесла разбегающаяся волна, чем игнорировать ее вообще, тем самым вдыхая жизнь в циркуляцию энергии статического поля?

[svv]

Так система из заряда и тока "предпочитает" передавать ощутимый момент импульса карусельке. Ну, и потом, излучение резко падает с убыванием частоты. Обеспечив достаточно медленное включение электрического и магнитного полей, мы почти до нуля снизим потери на излучение. А момент импульса, который надо передать системе (или отнять его у системы), не зависит от скорости включения (выключения) полей, а только от статической конфигурации полей.

[Munin]

romka_pomka в сообщении #753109 писал(а):

Я выполняю его просьбу: он просил быть не голословным

Нет, не выполняете.

romka_pomka в сообщении #753109 писал(а):

Но не лучше ли нам думать, что момент импульса унесла разбегающаяся волна

Во-первых, её можно измерить, и обнаружить, что она для этого слишком мала.

Во-вторых, когда поле выключают, возникает момент импульса в обратную сторону. А ведь волна обратно не приходила!

romka_pomka в сообщении #753109 писал(а):

тем самым вдыхая жизнь в циркуляцию энергии статического поля

Дело в том, что как раз логичней объединять разные поля, чем пытаться разграничить их. На втором пути возникает намного больше неопределённостей и парадоксов. Проверено.

[romka_pomka]

Munin в сообщении #753193 писал(а):

А ведь волна обратно не приходила!

А жаль! Наверное хватит ждать когда придет волна к излучающей антенне, как думаете?

[Munin]

Опыт с моментом импульса - это не излучающая антенна. Вам svv объяснил, почему. Не заставляйте повторять всё по десять раз. Попытайтесь прочитать и понять с первого.

[svv]

romka_pomka в сообщении #753198 писал(а):

А жаль! Наверное хватит ждать когда придет волна к излучающей антенне, как думаете?

romka_pomka, простите, nothing personal, чисто технический вопрос. Вы сами настроены сейчас на приём? Если скажете, что нет настроения, я пойму.

[romka_pomka]

svv в сообщении #753217 писал(а):

Вы сами настроены сейчас на приём?

Вполне настроен и адекватен собеседнику.

[svv]

Нужно ли поговорить подробней о "ложке дёгтя"?