Оценить время существования решения

[Oleg Zubelevich]

в качестве олимпиадной задачи можно предложить оценить время существования решения $\dot x=t^2+x^2,\quad x(0)=0$

[Ms-dos4]

Oleg Zubelevich
Это специальное уравнение Риккати, и его решение представляется в виде

$\[x = - \frac{{{u_t}'}}{u}\]$

где $\[u = \sqrt t [{C_1}{J_{\frac{1}{4}}}(\frac{{{t^2}}}{2}) + {C_2}{Y_{\frac{1}{4}}}(\frac{{{t^2}}}{2})]\]$

Что бы решение было конечно в нуле, $\[{C_2} = 0\]$

$\[u = \sqrt t {C_1}{J_{\frac{1}{4}}}(\frac{{{t^2}}}{2})\]$

Тогда имеем решение в виде

$\[x = - \frac{{t{J_{ - \frac{3}{4}}}(\frac{{{t^2}}}{2})}}{{{J_{\frac{1}{4}}}(\frac{{{t^2}}}{2})}}\]$

Для оценки времени существования решения нужно найти корень знаменателя.

$\[{J_{\frac{1}{4}}}(\frac{{{t^2}}}{2}) = 0\]$

Приблизительно это $\[t \approx 2.35834\]$

[Oleg Zubelevich]

поставьте там $x^3$ вместо $x^2$ что бы не было соблазна использовать спец. функции вместо мозгов

[arqady]

Oleg Zubelevich в сообщении #745453 писал(а):

что бы не было соблазна использовать спец. функции вместо мозгов

Красиво, но непонятно, каким образом можно использовать специальные функции вместо мозгов?
Это какое-то новое изощрённое упражнение для мазохистов?

[sergei1961]

Я бы переформулировал: не использовать специальные функции, там где они есть, это значит не использовать мозги.

[Oleg Zubelevich]

а можно еще так поставить вопрос. оценить время существования решения задачи

$$\dot x(t)=x^2(t/2),\quad x(0)=1,\quad t\ge 0$$

вобщем для олимпиад по ДУ можно найти очень много хороших вопросов

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #745775 писал(а):

оценить время существования решения задачи

Да куда оценить-то. $10^{-354}<t<10^{354}$ -- годится?...

Хоть бы кто нить хоть раз хоть какую задачу хоть задумался бы, чтоб поставить.

[Oleg Zubelevich]

стандартная для данного "педагога" попытка зафлудить задачу , которую он не способен решить

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #745775 писал(а):

а можно еще так поставить вопрос. оценить время существования решения задачи

Ну у меня получилось, что на $[0;1)$ решение единственно (если переписать в виде интегрального уравнения, то отображение будет сжимающим). Тогда оно понятно какое. А дальше оно однозначно восстанавливается по уравнению и тоже единственно (и продолжается до бесконечности).

Вообще достаточно единственности и ограниченности на сколь угодно малом интервале; наверное, это верно с гораздо более общей правой частью.

[Oleg Zubelevich]

так я и не говорю, что задача сложная. но думаю что для студенческой олимпиады вполне нормально, хотя бы потому, что объект нестандартный. Функционально дифференциальные уравнения студентам как правило не показывают

g______d в сообщении #746013 писал(а):

(и продолжается до бесконечности).

а вот это как раз то, что надо доказывать. Решение уравнения $\dot x(t)=x^2(t),\quad x(0)=1$ не продолжается до бесконечности

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #746065 писал(а):

а вот это как раз то, что надо доказывать. Решение уравнения $\dot x(t)=x^2(t),\quad x(0)=1$ не продолжается до бесконечности

Да. Я имел в виду, что для продолжения более-менее достаточно наличия запаздывания.

[sup]

Мне кажется, что более любопытной будет задача с "опережением"

$$\dot x(t/2)=x^2(t),\quad x(0)=1,\quad t\ge 0$$

А можно даже и без квадрата

$$\dot x(t/2)=x(t),\quad x(0)=1,\quad t\ge 0$$

Для последнего уравнения формальный ряд по степеням $t$ имеет радиус сходимости 0. Так существуют ли такие функции хотя бы на малом интервале $(0,t_0)$?

[Oleg Zubelevich]

нет не существуют