Для каждого значения b найдите все пары чисел (x,y)

[kis]

Цитата:

Для каждого значения b найдите все пары чисел $(x,y)$, удовлетворяющие уравнению
$\[b\sin 2y + {\log _4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}}) = {b^2}\]$

пробовал собрать полный квадрат:
$\[\begin{array}{l} b\sin 2y + {\log _4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}}) = {b^2} \Leftrightarrow \\ {\log _4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}}) = {b^2} - 2 \cdot b \cdot \frac{1}{2}\sin 2y + {(\frac{1}{2}\sin 2y)^2} - {(\frac{1}{2}\sin 2y)^2} \Leftrightarrow \\ {\log _4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}}) = {(b - \frac{1}{2}\sin 2y)^2} - {(\frac{1}{2}\sin 2y)^2} \end{array}\]$

и все

[mihailm]

Перенесите первое слагаемое левой части в правую часть (вы это уже сделали).
Какие значения могут принимать левая и правая части нового выражения?

[kis]

$\[\begin{array}{l} b\sin 2y + {\log _4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}}) = {b^2} \Leftrightarrow \\ {\log _4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}}) = {b^2} - b\sin 2y \end{array}\]$

в правой части квадратное уравнение относительно $b$. Дискриминант этого уравнения $\[D = {\sin ^2}2y \ge 0\]$. При $y=0$ квадратное уравнение имеет один корень, а при $y \neq 0$ - два корня.

Цитата:

Какие значения могут принимать левая и правая части нового выражения?

по графику видно, что $\[{\log _4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}})\] < 0$. Как это обосновать и использовать - разбираюсь

[mihailm]

Щас попробую)
В левой части (полученного выражения) функция, в частности, у нее есть область определения и область значений
нас интересует область значений - какова она?
В правой части тоже функция, переменная y. При разных b (выбирите сами) тоже найдите ее область значений

[kis]

область определения функции $\[{\log _4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}})\]$:
$\[\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ 1 - 4{x^8} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \in (0;\frac{1}{{\sqrt[4]{2}}})\]$
Значит, область ее значений: $\[( - \infty ; - \frac{1}{8})\]$

Не знаю, как найти область значений функции $f(y) = \[{b^2} - b\sin 2y\] $

[Ms-dos4]

kis в сообщении #745593 писал(а):

Не знаю, как найти область значений функции $f(y) = \[{b^2} - b\sin 2y\] $

Печально.

$\[\sin 2y \in [ - 1;1]\]$

$\[{b^2} - b\sin 2y \in [{b^2} - b;{b^2} + b]\]$

[ewert]

Такие задачи если решаются, то решаются грубо. Перенесите всё в правую часть. Коэффициент при первой степени $b$ будет не слишком большим по модулю. А свободный член, т.е. $-\frac18\log_4t(1-4t)$, где $t=x^8$, между прочим, не слишком маленьким. Максимальное значение подлогарифменного выражения (и, соответственно, минимальное значение свободного члена) очевидно.

[Otta]

kis в сообщении #745593 писал(а):

Значит, область ее значений: $\[( - \infty ; - \frac{1}{8})\]$

Вот нет.

[mihailm]

kis в сообщении #745593 писал(а):

...
Значит, область ее значений: $\[( - \infty ; - \frac{1}{8})\]$...

Вывод неверный.
Производную надо считать (подлогарифмического выражения), по другому вроде хуже, что-то типа среднее степенное порядка 8 не меньше среднего геометрического

[Otta]

mihailm в сообщении #745600 писал(а):

Производную надо считать (подлогарифмического выражения), по другому вроде хуже, что-то типа среднее степенное порядка 8 не меньше среднего геометрического

Не надо производную. ewert дал верное указание.

[Someone]

Ms-dos4 в сообщении #745594 писал(а):

$\[\sin 2y \in [ - 1;1]\]$

$\[{b^2} - b\sin 2y \in [{b^2} - b;{b^2} + b]\]$

Неправильно.

P.S. Столь примитивные задачи не следует решать за вопрошающего. Достаточно было намекнуть: а какое, дескать, множество значений у функции $\sin 2y$?
Вообще, цель здесь не решить задачу во что бы то ни стало, даже если вопрошающий вообще ничего не понимает, а попытаться его чему-то научить. А решает пусть он.

[mihailm]

Ms-dos4 в сообщении #745594 писал(а):

...
$\[\sin 2y \in [ - 1;1]\]$

$\[{b^2} - b\sin 2y \in [{b^2} - b;{b^2} + b]\]$

модуль там

-- Сб июл 13, 2013 10:12:35 --

Otta в сообщении #745602 писал(а):

...
Не надо производную. ewert дал верное указание.

Не посмотрел, ну да. Можно и без среднего порядка 8

[kis]

Открылся ларчик
$\[{\log _4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}}) = {b^2} - b\sin 2y\]$

нужно найти область значений левой и правой функции (в правой функции принять $b$ за переменную, а $y$ - параметр). область значений левой функции $(-inf;-1/4]$, а правой $\[( - \frac{{{{\sin }^2}2y}}{4}, + \inf )\]$. Так как область значений синуса $[-1;1]$, то наименьшее возможное значения минимума правой функции достигается при $\[{{{\sin }^2}2y} = 1\]$. То есть, минимум правой функции при таком значении синуса будет равен $-1/4$, что совпадает с максимумом левой функции. При любом другом значении синуса максимальное значение левой функции будет меньше минимального значения правой функции.

[mihailm]

а что с b?

[kis]

kis в сообщении #745906 писал(а):

а правой $\[( - \frac{{{{\sin }^2}2y}}{4}, + \inf )\]$.

скобка квадратная, а не круглая.

mihailm в сообщении #745920 писал(а):

а что с b?

Вычислить $b$ можно из следующих соображений. Так как $\sin{2y} = \pm 1$ и $\[{\log _4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}}) = - \frac{1}{4}\]$ (см. выше), то $b$ можно найти из исходного уравнения $\[b\sin 2y + {\log _4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}}) = {b^2}\]$, учтя найденные равенства.
$\[\left[ \begin{array}{l} {b^2} - b = - \frac{1}{4}\\ {b^2} + b = - \frac{1}{4} \end{array} \right. \Rightarrow b = \pm 1/2\]$