Детские задачи

[Terraniux]

Всем доброго времени суток!
1. Существуют ли такие натуральные числа $x$ и $y$, что выполняется равенство $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$
Решение: вычислим сумму в левой части. Для этого прибавим к ней $\frac{1}{1\cdot2}$. Получим $\frac{n}{n+1}$ (в нашем случае $n = 2012$). Таким образом, имеем, что наша сумма имеет вид $\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}$. Ответ: $\{x, y\}=\{2, 2013\}$. Баллы: 9.
2. Найти знаменатель дроби, полученной после сокращения $\frac{1000!}{21^{400}}$.
Решение: подсчитаем число троек и семерок в разложении 1000!. Получим, что троек будет 494, а семерок - 164. Ответ: $7^{236}$. Баллы: 7.
3. Решить неравенство $\log_{2-5x}3+\frac{1}{\log_2(2-5x)}\leqslant\frac{1}{\log_{6}(6x^2-6x+1)}$.
Решение: вначале найдем ОДЗ. Оно описывается условиями $x<\frac{2}{5},\ x\neq\frac{1}{5},\ x\neq0, \ x\neq1, \ x\in \left(-\infty,\ \frac{3-\sqrt3}{6}\right)\cup \left(\frac{3+\sqrt3}{6},\ \infty\right) $. После этого преобразуем выражение на ОДЗ: $\log_{2-5x}6\leqslant\log_{6x^2-6x+1}6$. отсюда, если $2-5x>1$, то $2-5x>6x^2-6x+1$. А если $2-5x<1$, то и $2-5x<6x^2-6x+1$. Решая 2 системы неравенств находим ответ: $x \in \left[-\frac{1}{3},\ 0\right)\cup\left[\frac{1}{2}, \ +\infty\right)$. Баллы: 11.
4. Доказать, что число $\frac{3^{200}+22\ldots2-10^{82}+1}{27}$ (243 двойки) является целым, и, к тому же, составным.
Решение: числитель является суммой двух нечетных чисел и одного четного. Кроме того, все слагаемые делятся на 81. Баллы: 5.
5. Решить неравенство $\frac{11x-9}{x+5}\geqslant x$
Решение: рассмотрим случаи, когда $x>-5$ и $x<-5$. В первом случае умножим обе части на знаменатель без замены знака. Получим неравенство $x^2-6x+9\leqslant0$, имеющее решение $x=3$. Во втором случае будет неравенство $x^2-6x+9\geqslant0$, решения которого лежат в $(-\infty,\ -5)\cup(-5,\ +\infty)$. В итоге получаем ответ: $x \in (-\infty,\ -5), x=3$. Баллы: 9.
6. Вычислить сумму, состоящую из 2013 слагаемых $11+121+\ldots+122\ldots21$. Решение: все слагаемые делятся на 11. Вынесем его за скобки, и найдем сумму $1+11+\ldots+11\ldots1$. Она равна $\frac{(10^1-1)+(10^2-1)+\ldots+10^{2012}-1}{9}$ $=$ $\frac{10^{2013}-10}{81}-\frac{2012}{9}$. Как итог: $11\left(\frac{10}{81}\left(10^{2012}-1\right)-\frac{2012}{9}\right)$. Баллы: 11.
$7.$ Решить уравнение $\sqrt{4x-x^2}=x^3-12x+18$.
Решение: левая часть определена при $0\leqslant x\leqslant 4. $. При этом, ее значение не больше 2. Значит, $x^3-12x+16 \leqslant0$. Равносильно $(x-2)^2(x+4)\leqslant0$, откуда $x=2$. Баллы:14.
8. Решить уравнение $\log_{{\sqrt{9+4\sqrt5}}^{\frac{1}{\sqrt[3]{\sin x}}}}{{\sqrt{9-4\sqrt5}}^{{\frac{1}{\sqrt[3]{\sin x}}}}}=2$.
Решение: сводится к $\log_t \frac1t=2$. Решений нет. Баллы: 11.
9. Сравнить числа $\sqrt[3]4+\sqrt2$ и $\sqrt[3]{25}+\sqrt[4]{\frac{3+\sqrt3}{6}}$. (Без калькулятора).
Решение: задача довольно простая. Немного посмотрев на числа около 1,5, можно заметить, что $\sqrt[3]4\approx1,59$, но при этом, меньше. Корень 2 и вовсе очень легко найти - $\approx1,4142$. В сумме - 3.00...
Число $\sqrt[3]25$ больше, чем 2,9. А число $\sqrt[4]{\frac{3+\sqrt3}{6}}$ не меньше 0,9. Отсюда видно, какая сумма больше. Баллы: 12.
10. Решить уравнение x^2\cdot3^{x-2}+3^{\sqrt x+2}=3^x+x^2\cdot3^{\sqrtx}
Решение: сгруппируем. x^2\left(3^{x-2}-3^{\sqrtx}\right) = 3^2\left(3^{x-2}-3^{\sqrt x}\right). Одно из решений – когда скобка равна 0, в этом случае x = 4. Пусть x\neq4. Тогда x^2 = 3^2, откуда, в силу ОДЗ, x = 3. Ответ: x = 3, x =4. Баллы: 12.

Нужно проверить одного чела, перешедшего в 10-й класс. Подойдут ли эти задачи? Какие баллы бы вы проставили за кажудю? (в сумме нужно 100).

[Chernoknizhnik]

Подойдут они ему или нет, зависит от его уровня подготовки. Если он хочет хорошо сдать егэ, то подойдут, если он хочет стать профессионалом-математиком, то тоже подойдут, но в 10м классе уже и посодержательнее задачи надо решать.

[Xaositect]

Terraniux в сообщении #741208 писал(а):

1. Существуют ли такие натуральные числа $x$ и $y$, что выполняется равенство $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$

А где равенство-то?

[nnosipov]

Terraniux в сообщении #741208 писал(а):

Нужно проверить одного чела ...

Проверить на что? Подбор задач зависит от ответа на этот вопрос.

[Terraniux]

Xaositect в сообщении #741337 писал(а):

Terraniux в сообщении #741208 писал(а):

1. Существуют ли такие натуральные числа $x$ и $y$, что выполняется равенство $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$

А где равенство-то?

Xaositect

Поправит не дает, увы.
1. Существуют ли такие натуральные числа $x,\ y$, что выполняется равенство $\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\ldots+\frac{1}{2012\cdot2013}=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$

nnosipov
, проверить уровень его математической подготовленности.

(Оффтоп)

При переходе в 10 класс (мне тогда исполнилось 14 лет) лично мне удавалось решить задачи уровня вступительных в СУНЦ, правда не все, но бо'льшую часть.

А его расхваливают как "математического гения".

(Оффтоп)

Вот и задело за живое

[Terraniux]

Я профейлился
В 4-й задаче должно быть $10^{81}$, вместо $10^{82}$
Ну да ладно, бывают задачи и такого типа: опровергнуть то, что надо "доказать", даже если в условии так написано. Однако, тот парень даже не угадал идею док-ва (делимость на 27).

Все же, согласны ли вы с разбалловкой? Оставить так, или где-то повысить, где-то понизить? Завтра он сдает задачи.

[Otta]

Terraniux
Ну что Вы, в самом деле. Оставите Вы или измените, это ничего не поменяет. Оставьте.

А попробуйте для прикола первым номером спросить решение неравенства $1/x<1$. Ну так, любопытно.

[Ms-dos4]

Otta в сообщении #741448 писал(а):

А попробуйте для прикола первым номером спросить решение неравенства $1/x<1$. Ну так, любопытно.

И в чём подвох? Что то я проблем не вижу.

[Otta]

Ms-dos4
Ну это ж не Вам, что Вы. ))

(Оффтоп)

Я каждое свое "тестирование" вновь обретенного школьника (абитуриента) начинаю с этого вопроса. Уже много лет. Ну, иногда числитель другой пишу, 2, например. И Вы знаете, ни разу еще никто не ответил верно. Сама удивляюсь. Заколдованное неравенство какое-то.

[General]

Terraniux в сообщении #741432 писал(а):

А его расхваливают как "математического гения".

Интересно-интересно, поделитесь, пожалуйста, результатами проверки.

Мне ещё нравится задача о нахождении минимального натурального числа, которое, будучи записанным дважды подряд, образует точный квадрат.

[arseniiv]

Terraniux в сообщении #741432 писал(а):

А его расхваливают <…>

Многие люди любят расхваливать, когда не до конца разобрались в ситуации. Спросите у того человека, согласен ли он с расхваливаниями.

[Chernoknizhnik]

arseniiv в сообщении #741527 писал(а):

Terraniux в сообщении #741432 писал(а):

А его расхваливают <…>

Многие люди любят расхваливать, когда не до конца разобрались в ситуации. Спросите у того человека, согласен ли он с расхваливаниями.

И как бы то ни было, человек не согласится

[ИСН]

General в сообщении #741455 писал(а):

минимального натурального числа, которое, будучи записанным дважды подряд, образует точный квадрат.

Убит поэт, невольник чести. Как я раньше не слышал про эту красоту?

[Shadow]

ИСН в сообщении #741563 писал(а):

Как я раньше не слышал про эту красоту?

Досадно искать квадраты среди делителей $10^k+1$ без компа. (ведь наименьшее такое $k=11$).

[Xaositect]

Shadow в сообщении #741574 писал(а):

Досадно искать квадраты среди делителей $10^k+1$ без компа. (ведь наименьшее такое $k=11$).

Суть не в том. Суть в том, что $4^2>10$.