Дифференцируемость и равномерная непрерывность

[AlexeyS]

Функция $f(x)$ задана на вещественной прямой и имеет конечную производную в точке $x_0$. Будет ли функция равномерно непрерывной в некоторой окрестности этой точки? Помогите придумать контрпример, пожалуйста!

[Otta]

Будет. Определение производной используйте.

[ewert]

AlexeyS в сообщении #735750 писал(а):

Функция $f(x)$ задана на вещественной прямой и имеет конечную производную в точке $x_0$. Будет ли функция равномерно непрерывной в некоторой окрестности этой точки?

С какой стати ей вообще быть непрерывной в окрестности?

[Otta]

А, ну да.

[AlexeyS]

ewert в сообщении #735756 писал(а):

С какой стати ей вообще быть непрерывной в окрестности?

А разве из дифференцируемости непрерывность не следует?

[Otta]

Дифференцируемость в точке. Так что следует. В точке.

[TOTAL]

(Оффтоп)

AlexeyS в сообщении #735762 писал(а):

А разве из дифференцируемости непрерывность не следует?

Из дифференцируемости на Марсе не следует непрерывность на Луне.

[AlexeyS]

Т.е. к примеру, функция $f(x)=x^2D(x)$, где $D(x)$ - функция Дирихле будет непрерывной в нуле и ее производная там равна нулю, но в любой окрестности она разрывна и поэтому не может быть равномерно непрерывной. Так чтоли получается?

[Otta]

Получается, так.