2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Помогите пожалуйста разобраться в доказательстве.
Сообщение31.05.2013, 18:15 


22/05/13
19
Здравствуйте,

Я повторяю школьную алгебру, но многие вещи не могу понять (даже если я закончила физ-мат)..

Помогите пожалуйста разобраться:

Пратусевич, алгебра 10 кл., стр. 33 утв. 1:

Пусть имеются две последовательности положительных чисел. Если для некоторого натурального числа m справедливо неравенство $a_m\ge b_m$, и для всех $k\ge m$ справедливо неравенство $a_{k+1}-a_k\ge b_{k+1}-b_k$, то при всех $n\ge m$ справедливо неравенство $a_n\ge b_n$.


Доказательство:

Докажем утверждение по индукции.

База индукции. Неравенство $a_m\ge b_m$ верно.
Индукционный переход. Пусть $a_k\ge b_k$. Известно, что $a_{k+1}-a_k\ge b_{k+1}-b_k$. Сложим эти два неравенства. Получим $a_{k+1}\ge b_{k+1}$, что и требовалось доказать.

Вопрос:

1) Я не понимаю, на каком основании мы складываем неравенства.
2) Я не понимаю зачем вводится n. Почему нельзя написать "при всех $k\ge m$"?

-- 31.05.2013, 19:26 --

Еще не понятно:
Допустим у нас две последовательности:

а) 1 3 2 4 3 5 4 6 ...
б) 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

1) $3 \ge  2$
2) $4-2 \ge  4-3$

Но: 3 меньше 5.

Как доказать, что $a_{k+1}-a_k\ge b_{k+1}-b_k$, т.е. что КАЖДЫЙ последующий член последовательности больше, чем предыдущий ?
В доказательстве написано, что это известно, но откуда? Когда я решаю задачи, там тоже нужно что-либо подобное доказать, но как я пойму, что мне "известно", а что нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите пожалуйста разобраться в доказательстве.
Сообщение31.05.2013, 19:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Sofico в сообщении #730877 писал(а):
1) Я не понимаю, на каком основании мы складываем неравенства.
Неравенства $a\geqslant b$ и $c\geqslant d$ можно складывать, то есть, если они справедливы, то справедливо также $a+c\geqslant b+d$.

"Житейский" смысл этого совсем простой.
Есть две тарелки с яблоками, на левой $a$ яблок, на правой $b$, причем $a\geqslant b$.
На левую добавили ещё $c$, на правую ещё $d$, причем $c\geqslant d$.
Тогда можно точно сказать, что и в результате на левой тарелке будет яблок больше-и-равно правой.

В случае последовательностей та же ситуация, только она повторяется многократно.
$a_m$ и $b_m$ -- это исходные количества яблок.
Потом добавили на левую $a_{m+1}-a_m$, на правую $b_{m+1}-b_m$.
Стало $a_{m+1}$ и $b_{m+1}$.
Потом ещё добавили на левую $a_{m+2}-a_{m+1}$, на правую $b_{m+2}-b_{m+1}$.
Стало $a_{m+2}$ и $b_{m+2}$.
И т. д.

Условие $a_{k+1}-a_k\geqslant b_{k+1}-b_k$ означает, что каждый раз на левую тарелку добавляли не меньше ($\geqslant$) яблок, чем на правую.
Понятно, что при таком раскладе неравенство $a_k\geqslant b_k$ будет сохраняться и дальше.

Sofico в сообщении #730877 писал(а):
2) Я не понимаю зачем вводится n. Почему нельзя написать "при всех $k\ge m$"?
Можно и так. Если знакомы с программированием, считайте, что $k$ и $n$ -- локальные переменные, их можно как угодно называть в пределах тех утверждений, где они используются, потому что области их использования не пересекаются:

Если для некоторого натурального числа m справедливо неравенство $a_m\ge b_m$,
и ( для всех $k\ge m$ справедливо неравенство $a_{k+1}-a_k\ge b_{k+1}-b_k$ ),
то ( при всех $n\ge m$ справедливо неравенство $a_n\ge b_n$ ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите пожалуйста разобраться в доказательстве.
Сообщение31.05.2013, 19:54 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
Sofico в сообщении #730877 писал(а):
Пусть имеются две последовательности положительных чисел. Если для некоторого натурального числа m справедливо неравенство $a_m\ge b_m$, и для всех $k\ge m$ справедливо неравенство $a_{k+1}-a_k\ge b_{k+1}-b_k$, то при всех $n\ge m$ справедливо неравенство $a_n\ge b_n$.
[...]
Еще не понятно:
Допустим у нас две последовательности:

а) 1 3 2 4 3 5 4 6 ...
б) 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

1) $3 \ge  2$
2) $4-2 \ge  4-3$

Но: 3 меньше 5.
У Вас не выполнено подчеркнутое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите пожалуйста разобраться в доказательстве.
Сообщение05.06.2013, 12:03 


22/05/13
19
Спасибо большое за ответы. Прошу прощения, что долго не отвечала: не всегда есть возможность выйти в интернет.

-- 05.06.2013, 13:05 --

svv в сообщении #730902 писал(а):
Sofico в сообщении #730877 писал(а):
1) Я не понимаю, на каком основании мы складываем неравенства.
Неравенства $a\geqslant b$ и $c\geqslant d$ можно складывать, то есть, если они справедливы, то справедливо также $a+c\geqslant b+d$.

С этим всё понятно.
С яблоками сложнее, но формулы, написанной выше было достаточно ))

-- 05.06.2013, 13:33 --

VAL в сообщении #730920 писал(а):
Sofico в сообщении #730877 писал(а):
Пусть имеются две последовательности положительных чисел. Если для некоторого натурального числа m справедливо неравенство $a_m\ge b_m$, и для всех $k\ge m$ справедливо неравенство $a_{k+1}-a_k\ge b_{k+1}-b_k$, то при всех $n\ge m$ справедливо неравенство $a_n\ge b_n$.
[...]
Еще не понятно:
Допустим у нас две последовательности:

а) 1 3 2 4 3 5 4 6 ...
б) 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

1) $3 \ge  2$
2) $4-2 \ge  4-3$

Но: 3 меньше 5.
У Вас не выполнено подчеркнутое.


Я понимаю, что в примере первая последовательность возрастает быстрее, чем вторая. И мне в принципе понятно, что там написано. Я не понимаю сам алгоритм доказательства. Так как в учебнике речь идет о методе доказательства теорем, я хотела бы научиться их доказывать. Но я не могу разобраться, что достаточно для доказательства. В данном примере написано, что "НАМ ИЗВЕСТНО", что если для всех $k\ge m$ справедливо неравенство $a_{k+1}-a_k\ge b_{k+1}-b_k$, то при всех $n\ge m$ справедливо неравенство $a_n\ge b_n$ . Но мне кажется, что как раз это и нужно доказать.

Для меня эта фраза звучит так (я утрирую):
Если каждый элемент первой последовательности больше, чем соответствующий элемент второй последовательности, то каждый элемент первой последовательности больше, чем соответствующий элемент второй последовательности.

На яблоках:
У нас в первой корзине больше яблок, чем во второй. Если нам известно, что мы одновременно добавляем яблоки в обе корзины и в первую мы добавляем не меньше, чем во вторую, то в первой яблок будет больше.

Но что мы доказали таким образом? Нам не известно, всегда ли мы добавляем в первую корзину не меньше яблок, чем во вторую.

-- 05.06.2013, 13:46 --

2) Я не понимаю зачем вводится n. Почему нельзя написать "при всех $k\ge m$"?[/quote] Можно и так. Если знакомы с программированием, считайте, что $k$ и $n$ -- локальные переменные, их можно как угодно называть в пределах тех утверждений, где они используются, потому что области их использования не пересекаются:

Если для некоторого натурального числа m справедливо неравенство $a_m\ge b_m$,
и ( для всех $k\ge m$ справедливо неравенство $a_{k+1}-a_k\ge b_{k+1}-b_k$ ),
то ( при всех $n\ge m$ справедливо неравенство $a_n\ge b_n$ ).[/quote]

Всё-равно не понятно.
m-натуральное число. k и n - натуральные числа.
$k\ge m$
$n\ge m$

Почему их области использования не пересекаются?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите пожалуйста разобраться в доказательстве.
Сообщение05.06.2013, 14:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Sofico в сообщении #732888 писал(а):
Всё-равно не понятно.
m-натуральное число. k и n - натуральные числа.
$k\ge m$
$n\ge m$
Почему их области использования не пересекаются?
Я тут под "областями действия" имел в виду не множество значений, которые $k$ и $n$ принимают, а чисто программистскую аналогию, "область видимости". Вот это утверждение
svv в сообщении #730902 писал(а):
Если для некоторого натурального числа m справедливо неравенство $a_m\ge b_m$,
и ( для всех $k\ge m$ справедливо неравенство $a_{k+1}-a_k\ge b_{k+1}-b_k$ ),
то ( при всех $n\ge m$ справедливо неравенство $a_n\ge b_n$ ).
рассматривайте как кусочек программы. Область видимости переменной $k$ -- это то, что заключено между синими скобками. Область видимости переменной $n$ -- это то, что заключено между зелёными скобками. Таким образом, каждая из переменных "работает" на своем участке рассуждения, помогает что-то сформулировать, а вне этого участка про неё можно забыть. Так как области видимости не пересекаются, двусмысленности обозначения нигде не возникает, что и позволяет в Вашем случае использовать одно и то же имя.

Пример. Скажем, где-то написано:
Цитата:
Пусть для некоторого $x>0$ выполняется $f(x)>0$.
Пусть также для некоторого $x<0$ выполняется $f(x)<0$.
Появляется кто-то и говорит:
— А я не понимаю, как это: $x>0$ и в то же время $x<0$.
Ответ: область видимости первого $x$ -- первая фраза, вне этой фразы о нём можно забыть. Область видимости второго $x$ -- вторая фраза. Области видимости не пересекаются, что и позволяет использовать для переменных одно имя $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите пожалуйста разобраться в доказательстве.
Сообщение07.06.2013, 14:39 


22/05/13
19
Цитата:
Появляется кто-то и говорит:
— А я не понимаю, как это: $x>0$ и в то же время $x<0$.
Ответ: область видимости первого $x$ -- первая фраза, вне этой фразы о нём можно забыть. Область видимости второго $x$ -- вторая фраза. Области видимости не пересекаются, что и позволяет использовать для переменных одно имя $x$.


не хочу занудствовать, но раз уж пошла такая петрушка...
в примере с "x" $x>0$ и $x<0$
а в моём примере обе переменные \ge m$

-- 07.06.2013, 15:44 --

и $a_k$ и $a_n$ вполне себе пересекаются

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите пожалуйста разобраться в доказательстве.
Сообщение07.06.2013, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Взаимопонимание нулевое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите пожалуйста разобраться в доказательстве.
Сообщение07.06.2013, 14:53 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Sofico в сообщении #732888 писал(а):
На яблоках:
У нас в первой корзине больше яблок, чем во второй. Если нам известно, что мы одновременно добавляем яблоки в обе корзины и в первую мы добавляем не меньше, чем во вторую, то в первой яблок будет больше.

Но что мы доказали таким образом? Нам не известно, всегда ли мы добавляем в первую корзину не меньше яблок, чем во вторую.

Почему? Именно это нам и известно. Каждый раз мы добавляем в первую корзину не меньше яблок, чем во вторую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите пожалуйста разобраться в доказательстве.
Сообщение07.06.2013, 14:53 


22/05/13
19
В чем принципиальная разница между следующими утверждениями:

1) Если для некоторого натурального числа m справедливо неравенство $a_m\ge b_m$,
и для всех $k\ge m$ справедливо неравенство $a_{k+1}-a_k\ge b_{k+1}-b_k$,
то при всех $n\ge m$ справедливо неравенство $a_n\ge b_n$ .

2) Если для некоторого натурального числа m справедливо неравенство $a_m\ge b_m$,
и для всех $k\ge m$ справедливо неравенство $a_{k+1}-a_k\ge b_{k+1}-b_k$ ,
то при всех $k$ справедливо неравенство $a_k\ge b_k$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите пожалуйста разобраться в доказательстве.
Сообщение07.06.2013, 14:56 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Sofico в сообщении #734018 писал(а):
В чем принципиальная разница между следующими утверждениями:

1) Если ...
то при всех $n\ge m$ справедливо неравенство $a_n\ge b_n$ .

2) Если ...
то при всех $k$ справедливо неравенство $a_k\ge b_k$ .

Ни в чем. Только обязательно при всех $k\ge m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите пожалуйста разобраться в доказательстве.
Сообщение07.06.2013, 15:02 


22/05/13
19
svv в сообщении #734013 писал(а):
Взаимопонимание нулевое.


Женщина... что с меня взять..

-- 07.06.2013, 16:03 --

Otta в сообщении #734021 писал(а):
Sofico в сообщении #734018 писал(а):
В чем принципиальная разница между следующими утверждениями:

1) Если ...
то при всех $n\ge m$ справедливо неравенство $a_n\ge b_n$ .

2) Если ...
то при всех $k$ справедливо неравенство $a_k\ge b_k$ .

Ни в чем. Только обязательно при всех $k\ge m$.


Зачем тогда вводить еще одну переменную?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите пожалуйста разобраться в доказательстве.
Сообщение07.06.2013, 15:06 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Sofico
Я адаптирую пример svv для Вас. Думаю, он не будет возражать.
Пусть при всех $x>0\; f(x)\le 1$. Пусть так же известно, что при всех $y>0 \; f(y)\ge 1$. Что можно сказать о функции $f$ для положительных значений аргумента?

-- 07.06.2013, 17:10 --

Sofico в сообщении #734022 писал(а):
Зачем тогда вводить еще одну переменную?

Это не имеет значения. Могли вводить, могли и не вводить. Вводят как раз обычно для облегчения понимания. Например, что это $k$ никакого отношения к предыдущему не имеет. Просто потому хотя бы, что оно - любое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите пожалуйста разобраться в доказательстве.
Сообщение07.06.2013, 15:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Так Вы поняли, что в Вашем случае использовать ту же переменную $k$ вместо $n$ можно? Я и пытался объяснить, почему можно.

(Оффтоп)

Цитата:
Женщина... что с меня взять..
Меня, кстати, в этой жизни окружают женщины в основном умные, за некоторыми я и не угонюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите пожалуйста разобраться в доказательстве.
Сообщение07.06.2013, 15:24 


22/05/13
19
Цитата:

(Оффтоп)

Цитата:
Женщина... что с меня взять..
Меня, кстати, в этой жизни окружают женщины в основном умные, за некоторыми я и не угонюсь.


Это была шутка, чтобы разрядить обстановку. Я не очень уютно себя чувствую, когда понимание нулевое. Мои возражения - это всего-лишь мой способ разобраться.
И я действительно пытаюсь понять ваш пример с переменными, но видимо я недостаточно знакома с программированием.

svv в сообщении #734027 писал(а):
Так Вы поняли, что в Вашем случае использовать ту же переменную $k$ вместо $n$ можно? Я и пытался объяснить, почему можно.


Я исходила из того, что составители учебника не будут вводить лишнюю переменную без крайней необходимости, поэтому пыталась понять, в чем "некорректность" использования одной и той же переменной.
Для меня это принципиальный вопрос, так как ошибки в доказательствах чаще всего возникают именно из-за неверной области определения или ошибок в логических рассуждениях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите пожалуйста разобраться в доказательстве.
Сообщение07.06.2013, 15:29 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Sofico в сообщении #734039 писал(а):
Я исходила из того, что составители учебника не будут вводить лишнюю переменную без крайней необходимости, поэтому пыталась понять, в чем "некорректность" использования одной и той же переменной.

Вы же школьный учебник читаете. Там, кроме здравого минимализма в наборе переменных, большую роль играют т.н. методические соображения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 58 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group