Оператор непрерывен в точке

[Foreman Jay]

Здравствуйте! Нужна помощь в доказательстве того, что если линейный оператор $A$ непрерывен в точке $x_0$, то он непрерывен всюду. То есть, дано, что $\forall \varepsilon>0 \;\; \exists \delta>0 \;\; \forall x \;\; (\|x-x_0\|<\delta)\Rightarrow(\|Ax-Ax_0\|<\varepsilon)$. Наверное, нужно взять произвольный $x_1$ и сделать какую-то замену, чтобы привести новое условие к условию с $x_0$? Таким способом у меня не выходит.

(Оффтоп)

Может, я близок? Пусть $x_1, \varepsilon$- произвольные. $\delta$-? $\forall x \;\; \|x_1-x\|<\delta \Rightarrow \|Ax_1-Ax\|=$[положим $x_1=x_0+x'$]$=\|Ax_0+Ax'-Ax\|\le\|Ax_0-Ax\|+\|Ax'\|$...

[iifat]

Foreman Jay в сообщении #733822 писал(а):

[положим $x_1=x_0+x'$]

Стоит, имхо, добавить, что $x=x_0+(x-x_0)$ и вспомнить про линейность.

[djuuj]

Попробуйте так: $\|x_1-x\|=\|x_0-(x+x_0-x_1)\|<\delta$

[provincialka]

Зачем замена? Как упростить выражение $Ax-Ax_0$ с учетом линейности?

[Foreman Jay]

provincialka в сообщении #734111 писал(а):

Зачем замена? Как упростить выражение $Ax-Ax_0$ с учетом линейности?

$A(x-x_0)$, разумеется...

[provincialka]

Ну вот. Значит, исходное утверждение зависит только от приращения $\Delta x =x-x_0$, а не от начальной точки. Поэтому его можно без всяких изменений двигать в любую точку.

[Foreman Jay]

provincialka, действительно, спасибо Вам!