2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Маятник: тяжёлая нить
Сообщение18.05.2013, 20:14 
Аватара пользователя
Однородная тяжёлая гибкая нерастяжимая нить свободно свисает с неподвижной точки подвеса. Точку подвеса приводят в движение: в равномерное прямолинейное или в периодическое синусоидальное по отрезку, по окружности, по эллипсу.

Понятно, что пойдёт волна, усиливающаяся к нижнему концу. Вопросы:
- существует ли режим, когда волна может быть описана как линейная до самого конца?
- если полагать волну нелинейной, то можно ли, не грызя полноценно дифур (для фанатиков - можно обсудить его интегрируемость, но я в этом ничего не понимаю), описать качественно форму нижнего конца нити, не потеряв ничего существенного (или хотя бы зная, чего именно теряется)?

Задача имеет большое практическое значение для художников, рисующих развевающиеся волосы, хвосты, знамёна и т. п. :-) (В более практическом плане, нить можно сделать ещё и упругой на изгиб.)

 
 
 
 Re: Маятник: тяжёлая нить
Сообщение18.05.2013, 20:28 
я бы для начала поставил задачу поскромнее: написать уравнения движения :D очевидно, речь пойдет о вариационном принципе

 
 
 
 Re: Маятник: тяжёлая нить
Сообщение18.05.2013, 22:05 
Аватара пользователя
У вас всегда речь идёт о вариационном принципе. А тут довольно просто выписывается прямо ДУЧП, безо всяких, не знаю, какое слово подобрать.

 
 
 
 Re: Маятник: тяжёлая нить
Сообщение18.05.2013, 22:18 
Ну, положим не всегда, но я так привык. Я бы дифур выписал, но я просто не верю, что там можно какие-то простые наблюдения сделать вроде тех, о которых вы говорите.

 
 
 
 Re: Маятник: тяжёлая нить
Сообщение18.05.2013, 22:44 
Аватара пользователя
Забавно было бы это и промоделировать. По-простому - как многозвенный маятник.
Для аниматоров ещё действие ветра.
В случае русалок - воды с поверхностным натяжением :D

 
 
 
 Re: Маятник: тяжёлая нить
Сообщение19.05.2013, 10:03 
Параметризуем нить натуральным параметром $s$. Через $\overline r(t,s)$ обозначим радиус-вектор соответствующей точки нити. Уравнения движения:

$$\overline r_{tt}=\overline g+(\lambda\overline r_s)_s,\quad |\overline r_s|^2=1$$

-- Вс май 19, 2013 10:05:50 --

Munin в сообщении #725558 писал(а):
А тут довольно просто выписывается прямо ДУЧП, безо всяких, не знаю, какое слово подобрать.


интересно было бы взглянуть

 
 
 
 Re: Маятник: тяжёлая нить
Сообщение19.05.2013, 10:36 
Аватара пользователя
nikvic в сообщении #725569 писал(а):
Забавно было бы это и промоделировать. По-простому - как многозвенный маятник.

И как многозвенный маятник себя ведёт? Вы его моделировали?

Я, собственно, и хочу его "промоделировать" на бумажке, на самом грубом уровне. Пока такое впечатление, что хвостик будет болтаться сильно-сильно, и завиваться в колечко.

 
 
 
 Re: Маятник: тяжёлая нить
Сообщение19.05.2013, 11:00 
Аватара пользователя
Munin в сообщении #725643 писал(а):
nikvic в сообщении #725569 писал(а):
Забавно было бы это и промоделировать. По-простому - как многозвенный маятник.

И как многозвенный маятник себя ведёт? Вы его моделировали?

Я, собственно, и хочу его "промоделировать" на бумажке, на самом грубом уровне. Пока такое впечатление, что хвостик будет болтаться сильно-сильно, и завиваться в колечко.
Нет, не моделировал.
Давал ссылку на результаты моделирования хлыста, так что "народ" этим занимался.
Конечно, качественное поведение соответствующего УРЧП тоже было бы интересно углядеть.
=======
Пока не нашёл отклика для другой задачи, про нить, бегущую в поле тяжести. Нить "выкидывается" из некоторой точки и "забирается" в другой, стационарное решение. При нулевой скорости получаем цепную линию, а при ненулевой?

 
 
 
 Re: Маятник: тяжёлая нить
Сообщение19.05.2013, 14:13 
http://link.springer.com/article/10.100 ... 467#page-1
http://link.springer.com/article/10.100 ... 847#page-1

-- Вс май 19, 2013 14:38:44 --

линеризованная в окрестности положения равновесия задача имеет вид

$$\overline r_{tt}=\overline g+g((S-s)\overline r_s)_s$$

$S$ -- длина нити

 
 
 
 Re: Маятник: тяжёлая нить
Сообщение19.05.2013, 14:51 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #725706 писал(а):
http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01182467#page-1
http://link.springer.com/article/10.100 ... 847#page-1

Спасибо, интересно.

Я потерял нить в начале раздела 4 (первой статьи). Что означает $F'(y)h=(r\,\,\overline{p}\,\,\,\overline{q})^T$?

 
 
 
 Re: Маятник: тяжёлая нить
Сообщение19.05.2013, 14:53 
а у меня нет возможности качать эжти статьи я только первые страницы видел

 
 
 
 Re: Маятник: тяжёлая нить
Сообщение19.05.2013, 15:29 
Аватара пользователя
Вот они:
http://libgen.org/scimag2/10.1007/BF01182467.pdf
http://libgen.org/scimag2/10.1007/BF01173847.pdf
А как качать - здесь на форуме уже говорилось: «Сервис по скачиванию статей».

 
 
 
 Re: Маятник: тяжёлая нить
Сообщение19.05.2013, 16:14 
thanx


Munin в сообщении #725728 писал(а):
Что означает $F'(y)h=(r\,\,\overline{p}\,\,\,\overline{q})^T$?


дифференциал оператора $F$ по $x$ см стр 145, уравнение означает, что сейчас линейный оператор $F'$ будем обращать т.е. доказывать, что существует и единственно $h$, а сам обратный оператор непрерывен в шкале

Весьма примечателен сам метод, которым он решает задачу. Исходное уравнение решается в шкале банаховых пространств с помощью итерационного метода Ньютоновского типа. Первым метод Ньютона на уравнения в банаховых пространствах обобщил Канторович, а на уравнения в шкалах -- Колмогоров. Метод Ньютона в шкалах б.п. является ядром знаменитой КАМ теории. Хорошая статья.

 
 
 
 Re: Маятник: тяжёлая нить
Сообщение19.05.2013, 17:02 
Аватара пользователя
Понятно. То есть статья посвящена существованию и единственности решения, а не его конкретному виду, так? Как его искать, хотя бы качественно, не сказано? Насколько валидно линейное приближение, и в каком смысле оно вообще линейно - в смысле линейного ДУЧП или нет?

 
 
 
 Re: Маятник: тяжёлая нить
Сообщение19.05.2013, 17:47 
Munin в сообщении #725807 писал(а):
То есть статья посвящена существованию и единственности решения, а не его конкретному виду, так?

да так
Munin в сообщении #725807 писал(а):
Как его искать, хотя бы качественно, не сказано?

формально говоря, итерационный процесс это конструктивный способ доказательства теоремы существования, однако для для практических целей этот процесс тоже не пригоден. Обычно важна бывает сама теорема существования в данном прорстранстве, с помощью таких теорем доказывают (и оценивают) сходимость численных алгоритмов

Munin в сообщении #725807 писал(а):
Насколько валидно линейное приближение, и в каком смысле оно вообще линейно - в смысле линейного ДУЧП или нет?

в смысле метода Ньютона. Там последовательность линейных задач решается. И там, строго говоря, не ДУЧП, а интегро-дифференциальное уравнение, нелокальное.

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group