Перестановочные операторы

[Rzer]

$A,B,C$ - самосопряженные ограниченные операторы в гильбертовом пространстве $H$.
$A\ge 0$ , $B^2=C^2=A$ .
Доказать,что операторы $B$ и $C$ перестановочные.

Насколько я понимаю,тут то что $A,B,C$ - операторы совсем не важно,нужно просто доказать,что если квадраты двух элементов алгебры совпадают,то эти элементы коммутируют.
Как вообще доказывать такие вещи?

[Xaositect]

Rzer в сообщении #723478 писал(а):

Насколько я понимаю,тут то что - операторы совсем не важно,нужно просто доказать,что если квадраты двух элементов алгебры совпадают,то эти элементы коммутируют.

Ну это, конечно, неправда. Для примера можно взять кватернионы. Или $\left(\begin{matrix}0 & 1\\1& 0\end{matrix}\right)$ и $\left(\begin{matrix}1 & 0\\0& -1\end{matrix}\right)$

[g______d]

Никак, это неправда.

Если $P$ --- проектор, то $(2P-I)^2=I$. Если $B=2P_1-I$, $C=2P_2-I$, то $B^2=C^2=I$. А если $B$ и $C$ перестановочны, то $P_1$ и $P_2$ перестановочны. Получаем, что любые 2 проектора перестановочны, что неправда.

-- 13.05.2013, 22:44 --

P. S. Опередили.