полунепрерывность

[akwa]

Добрый вечер! Помогите с задачкой, пожалуйста!
Пусть $X$- компактное метрическое пространство, $f$- собственная полунепрерывная функция на $X$. Докажите, что существует точка, в которой $f$ достигает абсолютного минимума.
Очень надеюсь на вашу помощь.

[Nimza]

$X=[0,1]$, $f(x) = 1-x$ при $x \in [0,1)$, $f(1)=1$. Полунепрерывна и собственна ли $f$? Компактно ли $X$? Достигается ли минимум?

[samsonich]

Nimza, автор имел в виду полунепрерывность снизу, а не сверху.

[AGu]

(Оффтоп)

samsonich в сообщении #715418 писал(а):

Nimza, автор имел в виду полунепрерывность снизу, а не сверху.

samsonich,
Nimza имел в виду, что на этот вопрос ответит автор.
(Отвечая на вопросы, можно нечаянно решить задачу. У нас такой способ помощи весьма популярен.)

[Oleg Zubelevich]

А еще хорошо помнить теорему: функция $f:X\to \mathbb{R}$ полунепрерывна снизу на метрическом пространстве iff для любого $c$ множество $\{x\in X\mid f(x)\le c\}$ замкнуто

[Nimza]

Кстати, нам даже метричность не нужна, и даже топологичность. Теорема Вейерштрасса верна для компактов в категории SeqPsTop (Sequential Pseudotopological Spaces, по-русски, наверно, субсеквенциальные пространства) и соответственно секвенциально полунепрерывных снизу функций на них.

(Оффтоп)

Кстати, определение таких пространств кажется интуитивнее более широкого класса топололических. А вот кто из них определяется интуитивнее, метрические или субсеквенциальные, сразу не очевидно