Предел функционального ряда

[Alvarg]

$\lim\limits_{x\to+\infty} x\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+x^2}$

Помогите найти предел или доказать что его нет

[Sonic86]

Как Вы думаете, чему равен предел?

[SpBTimes]

$\int\limits_{n-1}^{n} \frac{1}{n^2 + x^2} dn \leqslant \frac{1}{n^2 + x^2} \leqslant \int\limits_n^{n + 1} \frac{1}{n^2 + x^2} dn$

[Ms-dos4]

Предел равен $\[\frac{\pi }{2}\]$

[provincialka]

SpBTimes в сообщении #714731 писал(а):

$\int\limits_{n-1}^{n} \frac{1}{n^2 + x^2} dn \leqslant \frac{1}{n^2 + x^2} \leqslant \int\limits_n^{n + 1} \frac{1}{n^2 + x^2} dn$

Можно сразу x внести в слагаемое (и в интегралы). Получим при интегрировании совсем другую функцию. Что наводит на мысль!

Можно поступить проще, оценить слагаемые ряда равномерно (т.е. без x).

[SpBTimes]

provincialka в сообщении #714782 писал(а):

Получим при интегрировании совсем другую функцию

Чем отличаться?

Если бы можно было оценить члены ряда равномерно членами сходящегося ряда, то был бы возможен предельный переход, т.е. сумма бы была нулевая.

[provincialka]

SpBTimes в сообщении #714790 писал(а):

provincialka в сообщении #714782 писал(а):

Получим при интегрировании совсем другую функцию

Чем отличаться?

Если бы можно было оценить члены ряда равномерно членами сходящегося ряда, то был бы возможен предельный переход, т.е. сумма бы была нулевая.

А разве не так? Не равномерно?
Кстати, только что заметила, что предел берется при $x\to +\infty$, а я почему-то думала, что к 0. Это, конечно, другое дело.

[SpBTimes]

provincialka в сообщении #714806 писал(а):

Не равномерно?

Нет

[Deggial]

Ms-dos4 в сообщении #714741 писал(а):

Предел равен $\[\frac{\pi }{2}\]$

Предел равен $\infty$ при $x\neq 0$

[Alvarg]

Deggial в сообщении #715140 писал(а):

Предел равен $\infty$ при $x\neq 0$

А как доказать?

[provincialka]

SpBTimes в сообщении #714731 писал(а):

$\int\limits_{n-1}^{n} \frac{1}{n^2 + x^2} dn \leqslant \frac{1}{n^2 + x^2} \leqslant \int\limits_n^{n + 1} \frac{1}{n^2 + x^2} dn$

А неравенство в правильную сторону? Функция ведь убывающая. Впрочем, это не важно.

Это хороший метод, он дает ответ. И совсем не бесконечность, я численно проверяла.

[nnosipov]

Заменяя ряд $\sum_{n \geqslant 1}f(n)$ интегралом $\int_{n \geqslant 1}f(n)\,dn$, мы совершаем ошибку не более $\int_{n \geqslant 1}|f'(n)|\,dn$.

Кстати, ряд в данном случае можно взять и посчитать (но ТС этого делать, конечно, не стоит).

[Ms-dos4]

Расписываю своё решение. Если не прав, то поправьте.
Будем суммировать ряд $\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2} + {a^2}}}} \]$ по Пуассону

$\[\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {f(n)} = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {f(\xi ){e^{2\pi ni\xi }}d\xi } } \]$

Имеем

$\[\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\frac{1}{{{n^2} + {a^2}}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + 2\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2} + {a^2}}}} = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{{e^{2\pi ni\xi }}}}{{{\xi ^2} + {a^2}}}d\xi } } \]$

Берём интеграл(при помощи ТФКП)

$\[\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{{e^{2\pi ni\xi }}}}{{{\xi ^2} + {a^2}}}d\xi } = \frac{\pi }{a}{e^{ - 2\pi a\left| n \right|}}\]$

$\[\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\frac{\pi }{a}{e^{ - 2\pi a\left| n \right|}}} = \frac{\pi }{a}(1 + \frac{{2{e^{ - 2\pi a}}}}{{1 - {e^{ - 2\pi a}}}})\]$

Сумма равна

$\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2} + {a^2}}}} = \frac{1}{2}(\frac{\pi }{a}(1 + \frac{{2{e^{ - 2\pi a}}}}{{1 - {e^{ - 2\pi a}}}}) - \frac{1}{{{a^2}}})\]$

В нашем случае

$\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2} + {x^2}}}} = \frac{\pi }{{2x}}(1 + \frac{{2{e^{ - 2\pi x}}}}{{1 - {e^{ - 2\pi x}}}}) - \frac{1}{{2{x^2}}}\]$

И наконец берём предел

$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } x\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^2} + {x^2}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } [\frac{\pi }{2}(1 + \frac{{2{e^{ - 2\pi x}}}}{{1 - {e^{ - 2\pi x}}}}) - \frac{1}{{2x}}] = \frac{\pi }{2}\]$

P.S.Mathematica 9 и Maple 17 со мной согласны в плане ответа

[SpBTimes]

provincialka в сообщении #715166 писал(а):

А неравенство в правильную сторону?

ой, не туда конечно

nnosipov в сообщении #715173 писал(а):

мы совершаем ошибку не более

А откуда такое неравенство? Почему не так:
$\int\limits_1^{\infty} f(n) dn \leqslant \sum\limits_1^{\infty} f(n) \leqslant \int\limits_0^1 f(n) dn + \int\limits_1^{\infty} f(n) dn \leqslant f(0) + \int\limits_1^{\infty} f(n) dn$
Ну а тогда:
$0 \leqslant \sum\limits_1^{\infty} f(n) - \int\limits_1^{\infty} f(n) dn \leqslant f(0)$

[provincialka]

Мне больше понравился метод SpBTimes, он доступен первокурсникам.