симметрическая разность, мера, неравенство

[tavrik]

в первом нужно доказать неравенство, а во втором измеримость и посчитать меру.

1) даны $X, \mu, A$ - пространство, мера и $\sigma$-алгебра
определяют для любых A,B
$d(A, B)=\mu(A \vartriangle{B})$
i) доказать неравенство $|\mu(A)-\mu(B)|\le d(A,B)$
это неравенство не получается доказать, хотя ничего сложного там быть не должно.
ii) верно ли что для любых A, B, C
$d(A, C) \le d(A, B) + d(A, C)$
думаю что нет, если взять $A=C \ne B$

2) доказать измеримость и найти меру множества
$A= \bigcup ( \frac{n}{5}, \frac{n}{5}+ \frac{n+1}{2^n})$
тут объединение непересекающихся отрезков. сумма ряда выходит 4, минус нулевой член - 3. это и будет мера. верно ли?
и как именно красиво объясняется измеримость? "это счетное объединение".."это подмножество борелева множества - и оно измеримо"?

[SpBTimes]

1) Расишите симметрическую разность. Там получается сумма дизъюнктных множеств, которая разбивается на сумму мер. Дальше понятно, думаю.
2) Достаточно сказать, что счетное объединение открытых множеств открыто, потому и измеримо

[_hum_]

tavrik в сообщении #709986 писал(а):

i) верно ли что для любых A, B, C
$d(A, C) \le d(A, B) + d(A, C)$

может, все-таки, "неравенство треугольника" $d(A, C) \le d(A, B) + d(B, C)$?

SpBTimes в сообщении #709990 писал(а):

2) Достаточно сказать, что счетное объединение открытых множеств открыто, потому и измеримо

Наверное, правильнее сказать, счетное объединение измеримых - измеримо (и обосновать, почему).

А вообще, tavrik, неплохо было бы, чтобы вы различали общее понятие счетно-аддитивной меры (в первом вашем задании) и понятие лебеговой меры (во втором задании) как ее частного случая.

[tavrik]

hum,
да, во втором случае это мера Лебега. отличие лишь в том что она определена на $\operatorname{R_n}$?
то есть тем классом множеств на котором она определена.

в одном из вопросов спрашивают существует ли на $\operatorname{R}$ неизмеримое по Лебегу множество которое включает все рациональные числа.
такого нет, это верно?

и да, там - неравенство треугольника...

SPB
$|\mu(a)-\mu(b)| \le \mu(A\backslash{B}) + \mu(B\backslash{A})$
в смысле, к этой сумме мер?

[provincialka]

tavrik в сообщении #710417 писал(а):

в одном из вопросов спрашивают существует ли на $\operatorname{R}$ неизмеримое по Лебегу множество которое включает все рациональные числа.
такого нет, это верно?

Почему нет? Ведь неизмеримое множество существует? Добавьте к нему множество $Q$ (оно измеримо, его мера 0). Это объединение и будет искомым.

[_hum_]

provincialka в сообщении #710461 писал(а):

tavrik в сообщении #710417 писал(а):

в одном из вопросов спрашивают существует ли на $\operatorname{R}$ неизмеримое по Лебегу множество которое включает все рациональные числа.
такого нет, это верно?

Почему нет? Ведь неизмеримое множество существует? Добавьте к нему множество $Q$ (оно измеримо, его мера 0). Это объединение и будет искомым.

Ага, только предусмотрев, чтобы при добавлении к неизмеримому множеству измеримого результат не стал измеримым :)

[provincialka]

_hum_ в сообщении #710535 писал(а):

provincialka в сообщении #710461 писал(а):

tavrik в сообщении #710417 писал(а):

в одном из вопросов спрашивают существует ли на $\operatorname{R}$ неизмеримое по Лебегу множество которое включает все рациональные числа.
такого нет, это верно?

Почему нет? Ведь неизмеримое множество существует? Добавьте к нему множество $Q$ (оно измеримо, его мера 0). Это объединение и будет искомым.

Ага, только предусмотрев, чтобы при добавлении к неизмеримому множеству измеримого результат не стал измеримым :)

Это почти очевидно. Пусть $A$ - неизмеримое множество, а $B=A\cup Q$ - измеримо. Но $A=B\setminus Q \cup (A\cap Q)$. Первое множество измеримо как разность двух измеримых. Второе - как подмножество множества меры 0.

[_hum_]

provincialka, вот именно, что "почти очевидно" и является полезным упражнением для начинающего изучать теорию меры. А вы своим выписыванием решения оказываете ТС "медвежью услугу".

[provincialka]

_hum_ в сообщении #710623 писал(а):

provincialka, вот именно, что "почти очевидно" и является полезным упражнением для начинающего изучать теорию меры. А вы своим выписыванием решения оказываете ТС "медвежью услугу".

Согласна! Мой прокол.

[tavrik]

ну, да ладно...я зла не держу...:)
а почему подмножество множества меры ноль - измеримо(и его мера тоже ноль, я понимаю)...это как если бы мы взяли частичную сумму сходящегося ряда...?

-- Пн апр 15, 2013 22:45:23 --

только с покрытиями

[provincialka]

tavrik в сообщении #710811 писал(а):

а почему подмножество множества меры ноль - измеримо(и его мера тоже ноль, я понимаю)...это как если бы мы взяли частичную сумму сходящегося ряда...?

А вот это посмотрите в лекциях. Есть такое свойство меры Лебега - счетная аддитивность.

[tavrik]

да, смотрю. есть ведь утверждение "всякое множество положительной меры содержит неизмеримое по Лебегу подмножество"...получается и его обратный вариант тоже верен...

-- Вт апр 16, 2013 07:19:08 --

в общем, понял...любое подмножество(множества меры ноль) измеримо по лебегу...единственное что - оно может не быть борелевым...

[SpBTimes]

Мера Лебега обладаем важным свойством полноты. Из-за этого

tavrik в сообщении #710811 писал(а):

подмножество множества меры ноль - измеримо

[provincialka]

SpBTimes в сообщении #711292 писал(а):

Мера Лебега обладаем важным свойством полноты. Из-за этого

tavrik в сообщении #710811 писал(а):

подмножество множества меры ноль - измеримо

На это я и намекала! В некотором смысле, "ради этого" и вводится мера Лебега.

[SpBTimes]

provincialka
Как это следует из счетной аддитивности?
Это ведь следует из свойств сужения внешней меры на сигма-алгебру

-- Вт апр 16, 2013 23:15:15 --

tavrik в сообщении #710417 писал(а):

в смысле, к этой сумме мер?

$A \vartrianle B = (A \backslash B) \cup (B \backslash A)$
Причем объединение дизъюнктных множеств. Так что:
$\mu(A \vartrianle B) = \mu (A \backslash B) + \mu (B \backslash A)$