Интегрирование по частям

[Ward]

Здравствуйте!

Пусть $n$ - нецелое число и $f(x,N)=\sqrt{\dfrac{\sqrt{8x^2N+N^2}-2x^2-N}{3}}$ и $\rho(x)=\dfrac{1}{2}-\{x\}$.
Рассмотрим такой интеграл

$$\int \limits_{[\sqrt{N}]}^{\sqrt{N}}\rho(x)f'(x,N)dx$$

Как например можно оценить такой интеграл?
Можно ли показать что он например $O(\sqrt{N})$?

[mihiv]

Интегрируем по частям, после чего все сводится к оценке $f(x,N)$. Получается, что интеграл равен $O(N^{\frac 14})$.

[Ward]

mihiv
Извиняюсь там такой интеграл $\int \limits_{0}^{\sqrt{N}}\rho(x)f'(x,N)dx$
Можно ли как-нибудь показать, что этот интеграл есть О-большое от чего-нибудь?

[SpBTimes]

Примерно так же

[Ward]

SpBTimes
Т.е. Вы утверждаете, что последний интеграл есть $O(N^{1/4})$?
А как тут использовать интегрирование по частям? Ведь функция $\rho(x)$ - кусочно-непрерывна и у функции $f'(x,N)$ производная при $x=\sqrt{N}$ улетает в бесконечность.

[SpBTimes]

Я не утверждаю, так как не считал. Конечно же дифференцируете $\rho(x)$, используя свойство аддитивности интеграла по промежутку.

[Ward]

Т.е. Вы хотитет сказать, что

$$\int \limits_{0}^{\sqrt{N}}\rho(x)f'(x,N)dx=\int \limits_{0}^{1}+\cdots+\int \limits_{[\sqrt{N}]-1}^{[\sqrt{N}]}+\int \limits_{[\sqrt{N}]}^{\sqrt{N}}$$

Честно говоря, я Вас не совсем понял

[Ward]

mihiv в сообщении #703080 писал(а):

Интегрируем по частям, после чего все сводится к оценке $f(x,N)$. Получается, что интеграл равен $O(N^{\frac 14})$.

Уважаемый mihiv!
Возможно Вы ошиблись, но там никак не получается $O(N^{1/4})$. У меня например получается $O(N^{1/2})$, но никак $O(N^{1/4})$.

[Sonic86]

Ward в сообщении #703318 писал(а):

Возможно Вы ошиблись, но там никак не получается $O(N^{1/4})$. У меня например получается $O(N^{1/2})$, но никак $O(N^{1/4})$.

Я вчера тоже думал, что ошибся, у меня тоже получилось $O(\sqrt{N})$.

[SpBTimes]

Ward в сообщении #703272 писал(а):

Т.е. Вы хотитет сказать, что

Именно

[Ward]

Sonic86
Действительно, там ни как $O(\sqrt[4]{N})$ не получается.

SpBTimes
Ну вот разбили на интегралы.
Но а можно ли там использовать интегрирование по частям(там в интегрировании по частям требуются чтобы функции были гладкими)?
1)Функция $\rho(x)=\frac{1}{2}-\{x\}$ является гладкой на любом отрезке вида $[k,k+1]$ так как ее производная равна $-1$ (постоянная функция всегда непрерывна). Верно?

2)А вот функция $f(x,N)=\sqrt{\dfrac{\sqrt{8x^2N+N^2}-2x^2-N}{2}}$ является ли гладкой на $[k,k+1]$? Ведь ее производная в точке $\sqrt{N}$ улетает в бесконечность. Что-то этот момент я не понимаю.

Как тут можно применять интегрирование по частям?
Обоснуйте пожалуйста.

[SpBTimes]

Ward
Вы же $f'$ интегрируете

[Ward]

SpBTimes
Извиняюсь, но Вы можете написать что имеет ввиду.
Вы пишете так коротко, что я Вас не понимаю.
Был бы Вам крайне признателен.

-- 30.03.2013, 13:16 --

Ну да $f'$ и что?

[SpBTimes]

$\int\limits_{0}^{\sqrt{N}} \rho(x) f'(x, N) dx = \sum\limits_{k = 1}^{[\sqrt{N}]} \int\limits_{k - 1}^{k} \rho(x) f'(x, N) dx + \int\limits_{[\sqrt{N}]}^{\sqrt{N}} \rho(x) f'(x, N) dx$
Теперь интегрируете по частям, что выходит?
$\int\limits_{k}^{k + 1} \rho(x) f'(x, N) dx = \rho(k + 1)f(k + 1,N) - \rho(k)f(k,N) + \int\limits_{k}^{k + 1}f(x, N) dx$
Собственно, все. Потому и придется оценивать интегралы от $f(x, N)$

[Ward]

SpBTimes
Теперь намного понятнее. Я так и сделал, просто я Вас не понял.
А вот как быть с интегралом $\int \limits_{[\sqrt{N}]}^{\sqty{N}}\rho(x)f'(x,N)dx$? У меня с ним как раз сложность возникает. Как мы видим у подинтегральной функции в точке $\sqrt{N}$ особенность есть.